Quasi tutti conoscono la proprietà commutativa dell'addizione e della moltiplicazione.
In altri termini, la proprietà (dei numeri ordinari, interi, razionali, ecc.) per cui:
a + b = b + a (per l'addizione)
a x b = b x a (per la moltiplicazione).
Ebbene, sapete come la presentano alcuni libri e i maestri che adottano questi libri?
Non come una proprietà dei numeri interi, razionali, ecc. No, per carità. Bensì:
Come un metodo per verificare se il risultato dell'operazione è giusto!......
Ovvero, fate a + b. Il risultato è c.
Ora calcolate b + a. Se il risultato è ancora c vuol dire che avete fatto il calcolo giusto.
No comment
(E se per caso vi viene ugualmente sbagliato in entrambi i casi?......)
Qui di cappelli d'asino ce ne vuole una serie infinita.
P.S. Sapete la storia (assolutamente autentica) di quello studente che, abituato all'"ortografia" dei cellulari ha letto il nome del "generale Nino Bixio" (il luogotenente di Garibaldi) come il "generale Nino Biperio"?...
Bene, qui mi manca il simbolo del "punto" per il prodotto.
Nel caso che quel giovane legga questo post vorrei precisare che a x b = b x a non vuol dire "aperbi = bipera".
15 commenti:
Ho douto leggere l' articolo più volte prima di convincermi che non fossi preda di qualche attacco di follia. Poi ci si domanda, di fronte a pessime prestazioni nelle veriiche, perché gli studenti italiani siano affetti da allergia alla matematica. Se si pensa alle interminabili discussioni in rete e sulla carta stampata circa tutte quelle sgangherate architetture procedurali e pedagogiche escogitate per bonificare quella che è una vera e propria valle di lacrime, non si può non ridere (o piangere, scegliete voi). Comunque quella del Generale "Biperio" è la migliore e merita il primo premio.
Caro Professore, aggiungo qualcosa anch’io al “bestiario matematico”.
Ecco alcuni piccoli esempi di “bestialità matematiche”: i primi cinque esempi sono tratti da libri per la scuola di primo grado, gli altri da libri per quella di secondo grado. (Le maiuscole sono mie.)
1. Una relazione che gode SOLTANTO della proprietà transitiva si dice relazione d’ordine stretto.
2. Negli esempi esaminati la parte letterale del dividendo contiene tutte le lettere del divisore con esponente maggiore o uguale: i due monomi sono detti DIVISIBILI e il quoziente è un monomio intero.
3. Si chiama trapezio ogni quadrilatero con due SOLI lati opposti paralleli. [...] Si chiama parallelogrammo un quadrilatero avente i lati opposti paralleli. [...] Da quanto è stato esposto in questo paragrafo, possiamo dedurre che i PARALLELOGRAMMI SONO dei particolari TRAPEZI.
4. Proviamo ora a passare DA UN QUADRATO A UN ROMBO. Costruisci un quadrato con quattro listelli uguali del meccano; poi esercita una pressione su uno dei lati. Che quadrilatero ottieni? Hai certamente riconosciuto il rombo.
5. Due circonferenze si dicono esterne se… Due circonferenze si dicono INTERNE l’una all’altra…
6. Una potenza con esponente maggiore di 1 è una MOLTIPLICAZIONE della base per se stessa tante volte quante sono indicate dall’esponente.
7. Due angoli si dicono opposti al vertice se hanno in comune il vertice e i loro lati appartengono alle stesse rette.
8. Due angoli si dicono opposti al vertice se i lati dell’uno sono i prolungamenti dei lati dell’altro.
9. Si definisce trapezio un quadrilatero con due lati paralleli. Si definisce trapezio isoscele un trapezio CON I LATI OBLIQUI UGUALI. (Le stesse definizioni sono state anche trovate in un libro destinato alla formazione degli insegnanti.)
Ora, l’errore in matematica è sempre possibile; ma nessun matematico direbbe mai, per esempio, che “una relazione che gode soltanto della proprietà transitiva si dice relazione d’ordine stretto”.
Tutti sanno che una relazione si dice d’ordine stretto se essa è antiriflessiva e transitiva.
Probabilmente la cattiva definizione è stata dettata dalla volontà di semplificare: si potrebbe pensare che gli autori volessero dire che la relazione non gode della proprietà riflessiva.
Ovviamente, però, una relazione che non è riflessiva non è necessariamente antiriflessiva. Gli autori aggiungono un esempio che mostra la loro “confusione”:
“Esempio: [...] La relazione è transitiva in quanto [...]. Non è riflessiva in quanto nessun elemento è in relazione con se stesso.”
Ricordo che una relazione che gode (soltanto?) della proprietà transitiva si dice… transitiva.
Per ovvi motivi di brevità non mi soffermo sugli altri errori.
Un saluto e, visto l’argomento, spero di non aver commesso errori.
Maurizio Iurlo
Sono molto interessato alla questione degli errori e delle incongruenze presenti nei libri di testo. Devo però affermare che questa catalogazione (o bestiario) sarebbe decisamente più utile se venissero indicati almeno titolo ed autore/i.
Senza queste precisazioni non è possibile:
1 - Evitare l'uso di tale testo.
2 - Effettuare una verifica puntuale dell'errore (o presunto tale).
C'è qualche motivo per cui non vengono indicati in questo blog almeno gli autori e i titoli dei libri ?
Grazie.
segnalo una traduzione "legione grandissima" per il latino "XL legio". Ha inteso XL come extralarge...
Vabbè Ilaria, allora se provochi...ieri uno mi ha chiesto "Ma son millivolt o mini-volt?"...
A Renato.
Le bestialità finora esposte riguardano molti libri e si trovano in rete in dispense scaricabili, materiali didattici, ecc. Impossibile citarli tutti, e una citazione incompleta non servirebbe a niente e farebbe torto a qualcuno salvando altri. Non capisco il problema. La cosa più utile è conoscere la bestialità, dopodiché è banale identificarla. Se so che è malcostume parlare di "legge dissociativa" dell'addizione (e ho preso coscienza che è un'idiozia, almeno si spera, altrimenti c'è poco da fare), ogni qualvolta incontrerò questa sciocchezza la metterò alla berlina. Mi sfugge proprio perché senza precisare nomi e cognomi non sia possibile evitare i testi che contengono bestialità.
Infine. Vogliamo lasciare una porta aperta al pentimento? La gogna a me non piace. Lasciamo al peccatore la possibilità di redimersi.
Caro professor Israel,
leggo i suoi articoli da molto tempo e, di solito, condivido quanto afferma, tuttavia i suoi bestiari di matematica mi irritano un po'.
Immagino di essere ipersensibile all'argomento poiché sono proprio una delle tanto vituperate maestre di matematica.
Naturalmente non ho alcuna difficoltà ad ammettere che la mia cultura in materia sia davvero infima rispetto alla sua e a quella dei matematici in generale, ma non trova che sarebbe comunque più costruttivo, anziché additare gli errori, mostrare la giusta via attraverso testi, corsi di aggiornamento, materiali immessi in rete, ecc.?
Anche per chi ha buona volontà spesso è difficile non commettere errori.
Inoltre, ma questo lo dico davvero molto sommessamente e senza alcun intento polemico, forse alcune strategie o alcuni termini da noi usati servono a raggiungere la mente e il cuore del bambino aiutandolo a trovare la matematica una materia piacevole, istruttiva, utile nella pratica quotidiana e magari anche fonte di divertimento.
Da "grande", si potrà poi fare in modo che venga approfondita e migliorata la "qualità" di quanto ha appreso alle elementari.
Non intendo dire con questo che amo il pressapochismo, amo la materia e, per fortuna, lo stesso vale per i miei alunni .
Se qualcuno mi vuole dare suggerimenti costruttivi sono completamente disposta a seguirli e a farli conoscere alle colleghe.
Mi scuso per il tempo rubato e le invio cordiali saluti.
Chiara
Perché "vituperate"? Se mi legge saprà che l'ultima cosa che faccio è mettere sotto accusa gli insegnanti. Se qualcuno ha colpa in tutta questa faccenda sono i "didatti" della matematica e certi personaggi che si impancano a teorici dell'insegnamento della matematica propinando stupidaggine e bizzarrie a non finire. Se è diffusa la proprietà dissociativa dell'addizione, certi usi strampalati della teoria degli insiemi, la regola commutativa come verifica, ecc. è forse colpa di insegnanti e maestri? Nient'affatto. È colpa di questi personaggi. È evidente che sotto il peso di cotanta autorità molti si piegano pensando che questa sia la via giusta.
Lei ha perfettamente ragione a dire che bisogna reagire in positivo e non soltanto criticando e additando gli errori. Per parte mia, lo sto facendo, con lo scrivere un libro dedicato alla formazione primaria. Ma ci vuole tempo, se si vuol fare una cosa seria e non comportarsi come tanti superficiali che sfornano libracci l'uno dopo l'altro a velocità supersonica.
Consideri anche che la didattica e le case editrici sono prevalentemente occupati da queste congreghe. Lei parla di corsi di aggiornamento. È consapevole del fatto che esistono persone, legate a case editrici, che girano tutta Italia facendo corsi a pagamento in cui vengono propinate baggianate inaudite? Pensa che una persona possa combattere da sola tutto questo?
E allora consideri che anche (non soltanto, anche) mettere in giro una collezione di errori marchiani serve a stimolare l'attenzione e la vigilanza di persone come lei. Non è vero che non serve: a forza di battere sulla legge dissociativa dell'addizione (come hanno fatto dei colleghi di Milano e non io soltanto) si sta diffondendo una certa vergogna a menzionarla. È un risultato costruttivo, mi creda. Abbiamo tutti da imparare. E le cose che esemplifico sono frutto di un'attenzione per i problemi dell'insegnamento che prima non avevo. Crede che sia meglio stendere un velo pietoso?
Posso aggiungere un'altra storia simile, che risale all'esame di stato 2009, anche se riguarda solo parzialmente la matematica. Ma e' assolutamente autentica, e mi e' stata raccontata da fonte piu' che attendibile (il presidente di commissione, che ne e' stato ovviamente testimone diretto).
Studente: "Nella mia tesina ho portato una poesia di Pascoli."
Commissione: "Quale?"
Studente: "Per agosto"
Qualche tempo fa ho ricordato il transistor "NON al silicio" (era "NPN al silicio"), e bestialità simili, che Nuova Elettronica (la rivista di Bologna) non mancava di segnalare scusandosi delle castronerie inventate dai correttori di bozze. Bisogna dire che certe asinate hanno la coda lunga, se già trenta anni fa c'erano simili exploits...
Gentile professore, sono un insegnante di scuola primaria che sulla questione si è sempre posto molti dubbi, visto che a livello metodologico nel grado scolastico cui appartengo ogni volta che se ne discute risulta assolutamente imperante e prevalente l'idea che la prova dell'addizione debba essere necessariamente la proprietà commutativa.Ho più volte replicato alle colleghe l'assurdità di questa convinzione ma una di esse, a supporto di tale opinione sbagliata, ha affermato: "Ma se ad esempio devi fare la prova di un'addizione con tre addendi come fai ad utilizzare la sottrazione come prova?È impossibile, quindi è proprio per questo motivo che si ricorre alla proprietà commutativa".Cosa rispondere per farle cambiare idea a riguardo, visto che quest'ultimo esempio ha convinto tutte le altre colleghe sulla correttezza di questo sistema alquanto discutibile?Grazie.
Luca Bertolla
Mi scusi se risponderò in dettaglio giovedì ma sono in viaggio. Comunque l'uso della sottrazione con 3 o più addendi e possibilissimo e quindi la contro deduzione e' una fesseria. Inoltre neppure la sottrazione e' una PROVA in senso stretto
Gentile professore, va osservato in primo luogo che un metodo di PROVA in senso stretto per l'addizione o la moltiplicazione non esiste. Anche la famosa prova del 9 per la moltiplicazione non è attendibile in toto, perché cade in fallo in un alcuni casi (e infatti i professori competenti consigliano di non usarla, perché se casco in una situazione modulo 9 ottengo un risultato falso). Comunque, se eseguo la sottrazione di b da a per verificare che la somma a + b è stata fatta correttamente non VERIFICO un bel niente: potrei fare un errore nel sottrarre e arrivare alla conclusione che ho sbagliato la somma, mentre non è vero… Qui stiamo parlando di controlli che servono, in qualche modo, a rendere affidabile il risultato. Ma potrei anche limitarmi a ripetere l'operazione tre o quattro volte, magari facendola fare da persone diverse. Insomma, se qualcuno crede che esiste un metodo universale di controllo, una PROVA assoluta, costui non ha capito niente. È però vero che la sottrazione, in quanto mette in gioco una procedura diversa (inversa) fornisce un controllo più attendibile che non rifare la somma commutando, perché questo non conduce ad alcuna modifica sostanziale nel calcolo: tanto vale ripetere la stessa somma. Quindi, è certamente meglio "verificare" il (direi meglio "controllare" l'attendibilità del) risultato con la sottrazione che non facendo l'addizione commutata. E questo si può fare con un numero qualsiasi di addendi. È banale. Se ho calcolato a + b + c, questo è quanto calcolare prima (a + b) e poi sommare il risultato con c (oppure sommare a con il risultato di b + c). Basta allora controllare con la sottrazione il risultato di (a + b) e poi ancora con la sottrazione il risultato di (a + b) + c. Sarà noioso se ho molti addendi, ma si può fare, è ovvio. Quindi chi ha detto che non si può fare ha bisogno di un robusto ripasso di aritmetica elementare.
Detto questo è bene precisare una volta per tutte che la proprietà commutativa indica una proprietà fondamentale dell'insieme dei numeri ordinari (non valida per insiemi numerici più complicati) e non è in alcun modo una regola di controllo dell'operazione. Dire questo è una bestialità colossale: se uno studente di matematica venisse a dirmi una cosa simile lo boccerei senza pietà.
Se posso aggiungere un consiglio: tiri diritto e non defletta. Come vedrà dal Bestiario ho lanciato un'offensiva contro la "legge dissociativa" tre anni fa. Molti hanno protestato e resistito. Ora, risulta che si sia diffusa una certa vergogna in merito e se ne parli sempre di meno. Da certi manuali è sparita. Spazzeremo via anche questa bestialità "imperante" della proprietà commutativa come "prova"...
Grazie Professore!! I suoi articoli sono davvero interessanti!!
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