BESTIARIO MATEMATICO n. 7

Ogni tanto qualche passeggiata in rete la faccio per rendermi conto di quel che circola. Ed ho trovato estremamente interessante leggere alcuni commenti sulle recenti Indicazioni Nazionali per i Licei. Naturalmente la maggior parte dei commenti sono dedicati alle materie non scientifiche. Però ho trovato significative alcune accanite discussioni attorno alla matematica e, in particolare, attorno alla menzione, nelle IN, del “principio di induzione matematica”, che vi figura al seguente modo:

[obbiettivi dello studio] : 

una conoscenza del principio di induzione matematica e la capacità di saperlo applicare, avendo inoltre un’idea chiara del significato filosofico di questo principio (“invarianza delle leggi del pensiero”), della sua diversità con l’induzione fisica (“invarianza delle leggi dei fenomeni”) e di come esso costituisca un esempio elementare del carattere non strettamente deduttivo del ragionamento matematico.

Chi si chiede perché mai tanta attenzione per un principio tanto “banale” e secondario e soprattutto che senso abbia questo discorso sull’induzione matematica, la sua diversità con l’induzione fisica, perché non si tratti di un ragionamento di carattere strettamente deduttivo. E fin qui, niente di male. Se non fosse che – come accade spesso in rete – invece di provare a pensare e riflettere si sentenzia a rotta di collo, partono giudizi sommari, e persino insulti. Roba da cretini, ignoranti, analfabeti. Non è evidente che si tratta di pura deduzione? Questa indicazione deve averla scritta un filosofastro, forse persino Benedetto Croce. Di certo, è scandaloso che i matematici della commissione (il sottoscritto e Bolondi) l’abbiano lasciata passare. Oppure sarà un parto del solito pedagogista ignorante.

Beh, per stavolta i poveri pedagogisti non c’entrano. E neppure i filosofi.

E chi si è espresso in tal modo sul principio di induzione, inteso come il modo più elementare (se non si vuol ricorrere al teorema di Gödel) di far vedere che la matematica non è una scienza puramente deduttiva, che la manipolazione dell’infinito impone delle assunzioni extra-matematiche che nessuna riduzione assiomatica serve a esorcizzare? Un filosofastro? Don Benedetto?

Macché… Uno dei più grandi matematici della storia: Henri Poincaré…

Citiamo (La science et l’hypothèse):

«Il giudizio su cui poggia il ragionamento per ricorrenza può essere messo in varie forme; si può dire per esempio che in una collezione infinita di numeri interi diversi, ve ne è sempre uno più piccolo di tutti gli altri. Si potrà passare facilmente da un enunciato all’altro e darsi l’illusione di aver dimostrato la legittimità del ragionamento per ricorrenza. Ma ci si fermerà sempre, si perverrà sempre a un assioma indimostrabile che non sarà in fondo altro che la proposizione da dimostrare tradotta in un altro linguaggio.

Non ci si può dunque sottrarre alla conclusione che la regola del ragionamento per ricorrenza è irriducibile al principio di contraddizione.

Questa regola non può neppure venirci dall’esperienza; quel che l’esperienza potrebbe insegnarci è che la regola è vera per i primi dieci, centro numeri, non può raggiungere la serie infinita dei numeri, ma soltanto una porzione più o meno lunga ma sempre limitata di questa serie.

Se si trattasse soltanto di questo, il principio di contraddizione basterebbe, ci permetterebbe sempre di sviluppare quanti sillogismi vogliamo, è soltanto quando si tratta di racchiuderne un’infinità in una sola formula, è soltanto di fronte all’infinito che questo principio fallisce, ed è anche qui che l’esperienza diventa impotente. Questa regola, inaccessibile alla dimostrazione analitica e all’esperienza è il vero tipo di giudizio sintetico a priori. Non si potrebbe neppure considerarlo come una convenzione, come per certi postulati della geometria.

Perché dunque questo giudizio si impone a noi con irresistibile evidenza? È perché non è altro che l’affermazione della potenza del pensiero che si sa capace della ripetizione indefinita dello stesso atto appena questo atto è possibile una volta. Il pensiero ha un’intuizione diretta di questa potenza e l’esperienza non può essere per lui altro che un’occasione di servirsene e di qui prenderne coscienza.

Ma, si dirà, se l’esperienza bruta non può legittimare il ragionamento per ricorrenza, la stessa cosa accade per l’esperienza aiutata dall’intuizione? Vediamo successivamente che un teorema è vero per 1, per 2, per 3 e così via, la legge è evidente, diciamo, e lo è allo stesso titolo di ogni legge fisica che poggia su osservazioni il cui numero è molto grande ma limitato.

Non si può disconoscere che vi è qui un’analogia evidente con i procedimenti abituali dell’induzione. Ma esiste una differenza essenziale. L’induzione applicata alle scienze fisiche è sempre incerta, perché riposa sulla credenza in un ordine generale dell’universo, ordine che è fuori di noi. L’induzione matematica, cioè la dimostrazione per ricorrenza, s’impone al contrario necessariamente perché non è altro che l’affermazione di una proprietà del pensiero stesso.»

Magnifico brano su cui riflettere, invece di sbraitare.

E soprattutto meglio non sbraitare che le IN non tentano di stabilire un rapporto tra scienze esatte e scienze umane. Non è questo un modo fondamentale e semplice di connettere la matematica a una tematica filosofica?

Le IN sulla matematica indicano tanti nessi con la storia, la filosofia, la tecnologia:

“ [acquisire] il senso e la portata dei tre principali momenti che caratterizzano la formazione del pensiero matematico: la matematica nella civiltà greca, il calcolo infinitesimale che nasce con la rivoluzione scientifica del Seicento e che porta alla matematizzazione del mondo fisico, la svolta che prende le mosse dal razionalismo illuministico e che conduce alla formazione della matematica moderna e a un nuovo processo di matematizzazione che investe nuovi campi (tecnologia, scienze sociali, economiche, biologiche) e che ha cambiato il volto della conoscenza scientifica.

E poi:

« il concetto di modello matematico e un’idea chiara della differenza tra la visione della matematizzazione caratteristica della fisica classica (corrispondenza univoca tra matematica e natura) e quello della modellistica (possibilità di rappresentare la stessa classe di fenomeni mediante differenti approcci)».

Questa difficoltà nel cogliere questi aspetti, così come una diffusa incapacità di comprendere la tematica che sta dietro il principio d’induzione e che è connessa, più in generale, alla problematicità della manipolazione dell’infinito, non è la prova che siamo di fronte a un analfabetismo culturale della matematica da colmare al più presto; con l’apporto riflessivo e attento di tutti?