lunedì 7 giugno 2010

BESTIARIO MATEMATICO n. 7

Ogni tanto qualche passeggiata in rete la faccio per rendermi conto di quel che circola. Ed ho trovato estremamente interessante leggere alcuni commenti sulle recenti Indicazioni Nazionali per i Licei. Naturalmente la maggior parte dei commenti sono dedicati alle materie non scientifiche. Però ho trovato significative alcune accanite discussioni attorno alla matematica e, in particolare, attorno alla menzione, nelle IN, del “principio di induzione matematica”, che vi figura al seguente modo:

[obbiettivi dello studio] : 
una conoscenza del principio di induzione matematica e la capacità di saperlo applicare, avendo inoltre un’idea chiara del significato filosofico di questo principio (“invarianza delle leggi del pensiero”), della sua diversità con l’induzione fisica (“invarianza delle leggi dei fenomeni”) e di come esso costituisca un esempio elementare del carattere non strettamente deduttivo del ragionamento matematico.

Chi si chiede perché mai tanta attenzione per un principio tanto “banale” e secondario e soprattutto che senso abbia questo discorso sull’induzione matematica, la sua diversità con l’induzione fisica, perché non si tratti di un ragionamento di carattere strettamente deduttivo. E fin qui, niente di male. Se non fosse che – come accade spesso in rete – invece di provare a pensare e riflettere si sentenzia a rotta di collo, partono giudizi sommari, e persino insulti. Roba da cretini, ignoranti, analfabeti. Non è evidente che si tratta di pura deduzione? Questa indicazione deve averla scritta un filosofastro, forse persino Benedetto Croce. Di certo, è scandaloso che i matematici della commissione (il sottoscritto e Bolondi) l’abbiano lasciata passare. Oppure sarà un parto del solito pedagogista ignorante.
Beh, per stavolta i poveri pedagogisti non c’entrano. E neppure i filosofi.
E chi si è espresso in tal modo sul principio di induzione, inteso come il modo più elementare (se non si vuol ricorrere al teorema di Gödel) di far vedere che la matematica non è una scienza puramente deduttiva, che la manipolazione dell’infinito impone delle assunzioni extra-matematiche che nessuna riduzione assiomatica serve a esorcizzare? Un filosofastro? Don Benedetto?
Macché… Uno dei più grandi matematici della storia: Henri Poincaré
Citiamo (La science et l’hypothèse):

«Il giudizio su cui poggia il ragionamento per ricorrenza può essere messo in varie forme; si può dire per esempio che in una collezione infinita di numeri interi diversi, ve ne è sempre uno più piccolo di tutti gli altri. Si potrà passare facilmente da un enunciato all’altro e darsi l’illusione di aver dimostrato la legittimità del ragionamento per ricorrenza. Ma ci si fermerà sempre, si perverrà sempre a un assioma indimostrabile che non sarà in fondo altro che la proposizione da dimostrare tradotta in un altro linguaggio.
Non ci si può dunque sottrarre alla conclusione che la regola del ragionamento per ricorrenza è irriducibile al principio di contraddizione.
Questa regola non può neppure venirci dall’esperienza; quel che l’esperienza potrebbe insegnarci è che la regola è vera per i primi dieci, centro numeri, non può raggiungere la serie infinita dei numeri, ma soltanto una porzione più o meno lunga ma sempre limitata di questa serie.
Se si trattasse soltanto di questo, il principio di contraddizione basterebbe, ci permetterebbe sempre di sviluppare quanti sillogismi vogliamo, è soltanto quando si tratta di racchiuderne un’infinità in una sola formula, è soltanto di fronte all’infinito che questo principio fallisce, ed è anche qui che l’esperienza diventa impotente. Questa regola, inaccessibile alla dimostrazione analitica e all’esperienza è il vero tipo di giudizio sintetico a priori. Non si potrebbe neppure considerarlo come una convenzione, come per certi postulati della geometria.
Perché dunque questo giudizio si impone a noi con irresistibile evidenza? È perché non è altro che l’affermazione della potenza del pensiero che si sa capace della ripetizione indefinita dello stesso atto appena questo atto è possibile una volta. Il pensiero ha un’intuizione diretta di questa potenza e l’esperienza non può essere per lui altro che un’occasione di servirsene e di qui prenderne coscienza.
Ma, si dirà, se l’esperienza bruta non può legittimare il ragionamento per ricorrenza, la stessa cosa accade per l’esperienza aiutata dall’intuizione? Vediamo successivamente che un teorema è vero per 1, per 2, per 3 e così via, la legge è evidente, diciamo, e lo è allo stesso titolo di ogni legge fisica che poggia su osservazioni il cui numero è molto grande ma limitato.
Non si può disconoscere che vi è qui un’analogia evidente con i procedimenti abituali dell’induzione. Ma esiste una differenza essenziale. L’induzione applicata alle scienze fisiche è sempre incerta, perché riposa sulla credenza in un ordine generale dell’universo, ordine che è fuori di noi. L’induzione matematica, cioè la dimostrazione per ricorrenza, s’impone al contrario necessariamente perché non è altro che l’affermazione di una proprietà del pensiero stesso.»

Magnifico brano su cui riflettere, invece di sbraitare.
E soprattutto meglio non sbraitare che le IN non tentano di stabilire un rapporto tra scienze esatte e scienze umane. Non è questo un modo fondamentale e semplice di connettere la matematica a una tematica filosofica?
Le IN sulla matematica indicano tanti nessi con la storia, la filosofia, la tecnologia:

“ [acquisire] il senso e la portata dei tre principali momenti che caratterizzano la formazione del pensiero matematico: la matematica nella civiltà greca, il calcolo infinitesimale che nasce con la rivoluzione scientifica del Seicento e che porta alla matematizzazione del mondo fisico, la svolta che prende le mosse dal razionalismo illuministico e che conduce alla formazione della matematica moderna e a un nuovo processo di matematizzazione che investe nuovi campi (tecnologia, scienze sociali, economiche, biologiche) e che ha cambiato il volto della conoscenza scientifica.

E poi:

« il concetto di modello matematico e un’idea chiara della differenza tra la visione della matematizzazione caratteristica della fisica classica (corrispondenza univoca tra matematica e natura) e quello della modellistica (possibilità di rappresentare la stessa classe di fenomeni mediante differenti approcci)».

Questa difficoltà nel cogliere questi aspetti, così come una diffusa incapacità di comprendere la tematica che sta dietro il principio d’induzione e che è connessa, più in generale, alla problematicità della manipolazione dell’infinito, non è la prova che siamo di fronte a un analfabetismo culturale della matematica da colmare al più presto; con l’apporto riflessivo e attento di tutti?

11 commenti:

Gianfranco Massi ha detto...

Con questo "Bestiario" n.7 lei, Professore, ci fa entrare nel nocciolo del problema.Chi segue questo Blog sente di essere in solitudine in Italia. Non ho che poche esperienze dirette, ma penso che purtroppo quello che lei chiama analfabetismo culturale, in Italia è più esteso che nel resto d'Europa.

marcos ha detto...

Egregio Professore, confesso che questa volta
faccio fatica a decifrare il suo messaggio,
e rileggero' ancora il suo post.
Non sembra, stavolta, che tra le cose che critica, non ci siano "bestialita'" di entita' comparabile a quelle riportate nei suoi precedenti post.
Al massimo e' qualcosa che, dati i tempi, definirei, lacune ancora ben recuperabili.
Non trova? Mi sbaglio di molto ?
Grazie.

Paolo ha detto...

Lei non ha capito: la sua riforma è sbagliata perchè non la fa la sinistra che, com'è noto, è l'unica storicamente autorizzata a fare proposte e modifiche alle leggi vigenti in materia. E questo è dimostrato dal fatto (perchè, caro mio, i fatti dimostrano, come insegna il buon materialismo dialettico) che Berlinguer ha soppresso lo studio della storia greca e romana e questo non è stato visto come un attentato alla nostra cultura: e se non abbiamo reagito noi de sinistra che ci nutriamo solo di cultura, vuol dire che la dimostrazione è irrefutabile.

E' inutile che lei si sforzi a fare dei ragionamenti apparentemente sensati, tutte le persone moderne sanno che a partire dall'illuminismo ci siamo liberati dalle catene della "cultura" dogmatica, nozionista e classista (e, diciamolo, imperialista e patriarcale): e siccome lei fa parte della classe sbagliata da tanti punti di vista, ancora una volta la dimostrazione è chiusa.

PS: Vede, è così che si stabilisce correttamente il nesso tra mondo della logica e quello della filosofia. Comunque, anche se non ci arriva fa niente: noi siamo tolleranti delle classi inferiori.

Cheers

ilaria ha detto...

Paolo: Quindi è a partire dall'illuminismo che non si studia più greco e latino? Ma non era colpa di Berlinguer?
Quanto poi al Berlinguer non criticato perché di sinistra, vada, se ha voglia, sul sito del Corriere e si cerchi gli articoli di Luciano Canfora al riguardo.

sergio ha detto...

Gentile professore, le segnalo quest'articolo sullo studio della matematica pubblicato da Yediot Achronot. Che le sembra?
http://www.ynetnews.com/Ext/Comp/ArticleLayout/CdaArticlePrintPreview/1,2506,L-3896015,00.html

terminus ha detto...

Permettetemi...il problema non stà nella contrapposizione ideologica destra-sinistra. La verità risiede nella formazione culturale degli insegnanti di matematica; non mi sembra che nel corso di laurea in matematica mi abbiano spiegato in questi termini il principio di ricorrenza. Tutto ciò che conosco riguardante l'epistemologia e la storia della matematica l'ho imparato da me. Molti colleghi interrogati su tali questioni, per me fondamentali per una corretta e incisiva didattica, rispondevano che non era mio-nostro compito filosofare ma insegnare la matematica, senza rendersi conto che la matematica stava prima di tutto proprio in quello.
Saluti

Giorgio Israel ha detto...

Gentile Marcos, in effetti a prima vista questa roba appare molto meno "bestiale" di altri esempi di "bestialità" matematiche. Ma c'è un motivo per cui ritengo che faccia parte del bestiario. Si può essere ignoranti, disinformati, non avere gli strumenti sufficienti per comprendere appieno una questione complessa. Tutto questo è perdonabilissimo, anzi ciascuno di noi ha questi difetti in qualche campo. Ma la cosa diventa imperdonabile se i suddetti difetti vengono ammanniti con un contorno di arroganza, con insulti propinati a cuor leggero, senza neppure chiedersi per un istante se per caso non vi sia qualcosa che ci sfugge. Scrivendo poi cose (sul principio d'induzione) da bocciatura sommaria. Allora si conquista la prima posizione nel bestiario matematico. Anche nel bestiario culturale generale, lo concedo, ma siccome qui ci occupiamo di bestiario matematico il titolo ristretto va comunque concesso.

giovanni "Papero" lagnese ha detto...

Salve,
per puro caso - dato che davvero sono altre le cose che mi interessano - mi sono imbattuto in questa discussione. Voglio far notare che la sciocchezza grossa è che l'induzione matematica sia non deduttiva. Non è affatto così. Anche al secondo ordine, le regole di inferenza sono tutte deduttive, ossia sono tutte relazioni decidibili. La semidecidibilità della teoria si perde perché si perde la decidibilità degli assiomi o dell'insieme delle regole d'inferenza, ma ciascuna singola regola d'inferenza resta sempre una relazione decidibile!
Da una vita non faccio logica, ma certe cose balzano agli occhi, sono evidenti. Si tratta di cose assolutamente banali, quindi è sconcertante che non siano chiare a chi le chiama in causa!
Giovanni Lagnese

Giorgio Israel ha detto...

Egregio signor "Papero" apprezzo molto questa parodia delle persone di cui si è parlato, quelle che considerano uno sciocco Poincaré... Siamo grati che abbia voluto distogliersi da attività più interessanti per gratificarci di questo siparietto.

giovanni "Papero" lagnese ha detto...

Boh,
a me sembra solo chiaro che non è affatto vero che l'induzione matematica "costituisca un esempio elementare del carattere non strettamente deduttivo del ragionamento matematico".
L'induzione è una regola decidibile, punto. Se c'è qualcosa di "non strettamente deduttivo", non è certamente nell'applicazione dell'induzione.
Inoltre, senza Goedel, direi che è proprio arduo far vedere, col principio di induzione, che "la matematica non è una scienza puramente deduttiva". Se credi di farlo vedere, in realtà stai usando il teorema di incompletezza (e ci mancherebbe che non fosse così: altrimenti il lavoro di Goedel non sarebbe stato così importante).
Per il resto, sono d'accordo sul fatto che l'induzione debba essere insegnata nei licei, e che debba essere incentivata la riflessione filosofica sulla matematica e sulla scienza. In maniera corretta, però.
Torno ad attività più piacevoli.
Giovanni Lagnese

Giorgio Israel ha detto...

Già, boh mi sembra un buon modo di concludere. Buon divertimento.