venerdì 6 maggio 2011

BESTIARIO MATEMATICO N. 13

Un insegnante osserva che non capisce perché mai l’Ordine delle operazioni finlandese, che ho criticato nel mio articolo sull’insegnamento della matematica in Finlandia (post precedente) - o meglio, hanno criticato i matematici finlandesi... -, sia tanto scandaloso e distrugga l’algebra.
«È quel che faccio con i miei studenti», ha commentato. Per insegnare loro quanto fa 2x + 3x chiedo quanto fa 2mele + 3mele. “5mele”, rispondono. «Allora dico loro di mettere x al posto di “mela” e il gioco è fatto». Allo stesso modo, l’insegnante dice che non vede nulla di male a lasciar perdere il simbolo “=”, perché tanti passaggi da una parte all’altra confondono le idee e allora tanto vale meglio usare una visione della matematica «algoritmica e tabellare». Tanto – aggiunge – «noi dobbiamo sviluppare competenze e abilità».
Benissimo, anzi malissimo. Benissimo perché così si è data una dimostrazione perfetta di come la didattica della matematica per competenze distrugga la matematica e sviluppi il caos logico nella mente dei ragazzi. Malissimo… appunto per aver ottenuto questo esito nefasto.

Perché malissimo? Per il semplice motivo che “mela” non è affatto la stessa cosa di “x” e non si può mettere “x” al posto di “mela”. Difatti, “x” è sempre e comunque un NUMERO e NON UN OGGETTO!... “x” è un NUMERO di mele, di banane o di autocarri o di quel che volete, non è “la mela”.
La soluzione dell'equazione 2x = 4 non è mela = 2 - sarebbe una semplice bestialità... - bensì è "il numero delle mele è 2" !.........

Come potrei giustificare un passaggio come: 2x + 2y = 2(x + y) nella logica finlandese e di quell'insegnante? (Passaggio che, è difficile negarlo, è non di rado necessario). Lo dovrei giustificare dicendo che 2mele + 2banane è la stessa cosa di 2 (mele + banane)?... Il concetto della somma di mele e banane è privo di senso. La somma di oggetti non si può fare, tutt’al più si possono fare incroci botanici… ma non c’entra niente… Invece l’espressione 2x + 3y ha perfettamente senso in quanto sia 2 che x e y sono numeri. Perciò ha senso sommarli e fare una manipolazione come 2x + 2y = 2(x + y).

Questa è l’algebra, bellezza… avrebbe detto il celebre attore americano…

Si può benissimo partire da un problema concreto in cui si deve determinare il numero di certe “cose”, numero sconosciuto che denotiamo con simboli come x, y z, ecc. Poi, una volta scritte le relazioni che intercorrono tra questi numeri incogniti, e dimenticato completamente il significato che vorremmo attribuire ai simboli x, y,..., mettiamo in opera tutta la potenza delle manipolazioni algebriche e otteniamo il risultato che ci dice che, poniamo, x = 5, y = 8, ecc., ovvero il numero delle mele è 5 e il numero delle banane è 8. Insomma, l’algebra è un necessario intermezzo di calcolo tra la formulazione concreta iniziale di un problema e l’interpretazione finale.
Le manipolazioni si possono mettere in opera in quanto dipendono dalle proprietà fondamentali dell’aritmetica – commutatività, associatività, distributività, ecc. ecc. – e hanno senso proprio in quanto si tratta di numeri e non di oggetti. Perciò, stabilire quelle proprietà è assolutamente necessario, imprescindibile.
Questa è la sostanza di quella grande creazione che è l’algebra, che consente di risolvere in modo meccanico una quantità di problemi insolubili in via diretta. Generazioni di ragazzi e uomini, dopo coloro che faticosamente l’hanno inventata, l’hanno saputa usare e perfezionare, e ora l’umanità sarebbe diventata così deficiente da non essere più in grado di capirla, non dico di usarla?... Non credo che occorra avere una simile sfiducia nella mente dei nostri giovani.
Purtroppo è peggio di così!... È peggio della sfiducia. È la presunzione di aver trovato un nuova visione, un nuovo approccio più corretto, mentre è una semplice corbelleria. Si ha la presunzione di distruggere l’algebra, e anzi la matematica, e di sostituirla con una matematica algoritmica e tabellare, in nome di un preteso progresso: la didattica per competenze e abilità!...

Tutta la miseria di questo approccio si manifesta nella sua geometrica impotenza concettuale, che non soltanto crea studenti disabili ma distrugge la cultura degli insegnanti. Mi guardo bene dall’offendere insegnanti che pensano a quel modo, ma dico loro amichevolmente e anche in modo accorato: ripensateci, riflettete. State mettendo in opera un disastro didattico e così storpierete le menti dei ragazzi soltanto per dar retta a qualche pedagogo ignorante che vi vuol convincere che così sarete più “avanzati”.

Sia chiaro, Si può anche sostenere con fondamento che le manipolazioni dell’algebra sono repulsive, meccaniche (è la parola che ho usato prima) e spesso conducono a una didattica manipolativa e ripetitiva. Infatti, l’errore didattico peggiore che si può fare è anteporre l’insegnamento dell’algebra a quello della geometria e dell’aritmetica. Soltanto dopo aver studiato e compreso a fondo geometria e aritmetica ha senso ricorrere alla potenza manipolativa dell’algebra. Ma allora si è abbastanza maturi, e si è entrati nel cuore della “sostanza” della matematica – numero e spazio – per apprezzare l’utilità dell’algebra nel risolverne i problemi. Come per primo ha insegnato Descartes nella sua “Géométrie”. E come hanno fatto generazioni e generazioni dopo di lui, creando strumenti di straordinaria potenza. Oppure, in nome dell'ideologia delle  "competenze", dovremo regredire a un’algoritmica più rozza di quella cinese medioevale, una matematica che i cinesi per primi si guardano bene dall’insegnare e praticare?


Quanto alla soppressione del simbolo = , stendiamo un velo pietoso.

21 commenti:

B'Rat ha detto...

Boh, su 2 (x + y) immagino che qualcuno potrebbe opporre che basta creare l'oggetto (1 mela e 1 banana) e le cose si risolvono, però a parte il livello infimo della trattazione immagino che divertimento quando si iniziano a considerare casi tipo xy, x^2 ecc...
A me sta succedendo che, causa evidentemente la mia scarsa capacità di argomentare, su un altro blog in cui ho citato il suo articolo non mi riesce convincere una persona che si dimostra un discreto livello culturale del fatto che eliminare la notazione frazionaria e in generale non insegnare tutta la "noiosa" parte "teorica" della matematica sia folle, come se la matematica fosse saper risolvere una manciata di problemi ben precisi...

Unknown ha detto...

Spero che almeno la parte evidenziata in azzurro sia letta da tutti gli adepti della "nuova didattica" !

Giorgio Israel ha detto...

Ma come boh?... Lei da argomenti in più... Mela al quadrato, mela per banana. E che diamine? 2(x+y) non è due volte il nuovo oggetto melabanana ma due volte la quantità di mele e la quantità di banane. E comunque, l'algebra tratta di INCOGNITE che sono numeri, che possono avere interpretazioni concrete, ma che sono numeri e basta. Il resto sono baggianate. Quanto al suo interlocutore, non si scoraggi. Chi sostiene quelle tesi non ha un discreto livello culturale. Se è per questo il docente che ho menzionato citava Chomsky dandosi chissà che arie e dicendo fesserie sesquipedali. Il problema è che i pedagogisti e gli psicologi hanno lavato il cervello di un sacco di gente e ci vuole una fatica enorme a far funzionare di nuovo le menti in modo giusto. Oltretutto c'è un'ignoranza diffusa di storia della matematica e di cos'è la matematica che fa paura.

B'Rat ha detto...

Grazie per l'incoraggiamento
In effetti ho l'impressione che ci sia in giro fin troppa gente che con la matematica non la ha mai trovata troppo simpatica ma pretende di sapere come andrebbe insegnata...
Comunque il boh era un po' per esprimere "chissà cosa può accadere", tenuto conto del clima non mi stupirei di simili giravolte per tentare di salvare questo "approccio innovativo"...

B'Rat ha detto...

(forse la "radice di mela" è ancora più interessante da considerare... no, seriamente, non riesco a credere davvero che in Finlandia insegnino così...)

Andrea Viceré ha detto...

C'è un punto che desta particolare sgomento nell'argomentare dell'insegnante citato, e cioè il timore manifestato che agli studenti si "confondano le idee" nel passare dal piano concreto a quello astratto.
L'importanza della matematica come materia di base, non riservata solo a specialisti che la useranno nel lavoro o per diletto, discende anche dall'efficacia con la quale essa porta a sviluppare proprio le capacità di generalizzazione, astrazione e rappresentazione simbolica.
E quando si tratta di raccogliere i frutti di tale astrazione, con l'opportunità di mostrare agli studenti che lo sforzo fatto paga, ci si volta a guardare indietro?
Si merita di restarci di sale!

Cordialità

Andrea Viceré

Giorgio Israel ha detto...

Gentile B'Rat, naturalmente in Finlandia non insegnano a calcolare la radice di mela e neanche quel professore si sognerà una cosa simile. Ho soltanto voluto far vedere le implicazioni di voler dedurre le proprietà di calcolo algebriche da considerazioni empiriche in cui l'incognita è considerata come un oggetto anziché come un numero. Non capire (e far capire) che l'algebra è soltanto una manipolazione di numeri e simboli rappresentativi di numeri è devastante.
Quanto alla Finlandia, non ho inventato nulla. Basta leggersi gli articoli che ho citato, vi si troverà anche altro. Ed è facile reperirli in rete.

Ismael ha detto...

Ma chi invoca queste concezioni "pragmatiche" dell'algebra come si misura con lo zero e la sua nient'affatto scontata proprietà di annullare i prodotti?
Voglio dire, se abbiamo tre mele (o tre banane, tre matite...) in mano e le moltiplichiamo per zero, cosa fanno quelle nella realtà, spariscono?

Fabio ha detto...

Ora che ci penso, anche a me fu introdotto il concetto di "monomi simili" con questa storia delle mele e delle pere.
Solo che poi, continuando ad usare l'algebra per risolvere problemi, rientrai subito in una visione ortodossa delle espressioni letterali (e poi studiavo già fisica; non potevo sul serio mettermi a pensare che quelli dell'algebra non fossero numeri puri).

Non che voglia dimostrare qualcosa. Forse solo che passa una certa differenza tra un esempio un po' infelice e potenzialmente fuorviante e un'intera metodologia basata sulle pere.

B'Rat ha detto...

Fabio,
a mio parer il problema è che viene proposta una motivazione fuorviante, ovvero che dà un'idea sbagliata del concetto di incognita di cui uno si deve poi liberare se vuole capire la matematica, quando esiste una spiegazione del tutto corretta che non quindi non può confondere nessuno che è quella per cui essendo x un numero, anche se non ci è dato sapere quale, per esso nel sommare 2x + 3x banalmente vale la proprietà distributiva della moltiplicazione (mentre non c'è nulla del genere per 2x + 3y).
Non dovrei aver detto bischerate.

frz40 ha detto...

Vi confesserò che di questa bella disquisizione non ci ho capito quasi nulla, ma mi sembra soprattutto inutile.

Se test e metodo d'insegnamento non sono tra loro compatibili e danno risultati di dubbia interpretazione, occorre prima di tutto rispondere a questa domanda: Il metodo d'insegnamento è corretto? E' il migliore? Se la risposta è sì, occorre modificare i test, se la risposta è no, occorre modificare il metodo d'insegnamento.

E va da sé che se si giudica che il metodo d'insegnamento è corretto, deve essere prevenuto, vietato e punito qualunque tentativo (leggi libri test solving) teso a modificare il metodo.

Ma i test ben fatti servono.

Il dramma vero, però, al momento è un altro. E' che i test mettono indiscutibilmente in evidenza carenze di conoscenze minime che sono inaccettabili. E qui non c'entra più il metodo d'insegnamento né la formulazione del test. C'entra il fatto che in certe scuole si insegna e in altre no. Dove si insegna i test attuali danno tranquillamente risultati a livello europeo, dove non si insegna, danno risultati disastrosi. Dove si insegna non ci sono annullamenti del test per cheating dei prof, dove non si insegna il prof cheating è elevato. Dove si insegna gli scores, pur oscillando, sono sempre su livelli elevati, dove non si insegna, anche quando migliorano (forse perché i furbetti non mancano?) sono sempre su livelli modesti. E le scuole che insegnano o non insegnano sono sempre le stesse.

Giorgio Israel ha detto...

Con la stessa franchezza con cui lei dice che questa "bella disquisizione è inutile", le dirò che parecchie delle cose che dice sono delle ovvietà, altre sono fumose, e comunque che se uno non ha capito niente, prima di parlare dovrebbe tentare di capire invece di sentenziarne l'inutilità. È proprio vero che un bel tacer non fu mai scritto.

Gianfranco Massi ha detto...

Tutto quello detto finora per l'algebra vale anche e soprattutto per la fisica. Cadrebbe la distinzione concettuale tra "dimensione di una grandezza" e la sua "misura". Almeno così mi pare.

frz40 ha detto...

Capisco la risposta stizzita, ma le assicuro che non avevo alcun dubbio sul fatto che X e Y fossero numeri, non oggetti, e che come tali debbano essere insegnati.
Mi è più difficile capire perché la scuola si potrebbe orientare ad insegnarli come mele e pere per rispondere meglio ai test e, ancor più, perché questo dovrebbe essere consentito.
Le mie considerazioni sui risultati dei recenti test Invalsi saranno anche state ovvie e fumose, ma vorrei tanto che, finalmente, qualcuno mi spiegasse concretamente quali sono le cose un normale studente fosse autorizzato a non sapere per colpa (o merito?) dell’attuale metodo di insegnamento. Al punto di contestare la validità dei test somministrati.
Qualche esempio? O è chieder troppo?

Giorgio Israel ha detto...

Ma non era per niente stizzita, piuttosto un po' ironica... Perché è un po' buffo che uno dica di considerare inutile qualcosa di cui non ha capito un acca...
Comunque, la risposta è che quel che si vuole è un tipo di "matematica" pratica, che si riduca a un insieme di regole operative, che eluda tutte le questioni teoriche, i teoremi, i principi generali. Nel caso specifico, è evidente: i principi generali dell'algebra: il concetto di incognita, le regole dell'algebra (proprietà associativa, distributiva, ecc.), il concetto di equazione, ecc. Addirittura si vuole cancellare il concetto di frazione a favore di una visione puramente decimale dei numeri, il che è una castroneria da autentici ignoranti. Ha letto il mio articolo sulla matematica finlandese? Mi pare che fosse chiaramente spiegato. Una matematica del genere non è matematica, è un oggetto didattico senza senso e in prospettiva totalmente inutile. Peraltro i test non possono in alcun modo verificare la presenza di conoscenze di natura teorica, e tantomeno verificare la natura dei procedimenti seguiti. Magari potrebbe leggere anche l'articolo sui test Invalsi (post del 28 aprile) O è troppo chiedere? E magari anche le mie proposte sulle modalità di valutazione: http://www.gildacentrostudi.it/interventi/030111israel_valutazione.htm

frz40 ha detto...

Stia pur certo che ho letto sia l’una che l’altra cosa, prima di scrivere il mio commento. Ma torno a farle la domanda:
Quali sono le risposte che un normale studente era autorizzato a non conoscere per colpa (o merito?) dell’attuale metodo di insegnamento, al punto di contestare la validità dei test somministrati?
Mi dia qualche esempio, per favore.
Concordo con Lei che i test non riescono a dar risposte che non vanno oltre «il rilevamento di un livello di “literacy” e “numeracy” minimale» ma mi pare che in troppi casi non siamo nemmeno a questo livello.
E ciò anche se, come dice Lei:« l’Invalsi si è mosso recentemente in modo accettabilmente “moderato”, utilizzando il sistema dei test cum grano salis»
A questo punto, pur apprezzando la Sua proposta delle “ispezioni” mi chiedo fino a che punto non siano esse stesse “manovrabili” e quanti anni luce sarebbero necessari per coprire il territorio.
Ben vengano per ora i test, che pur imprecisi e migliorabili, ci dicono molte cose. E se non vogliamo cadere nel caso della matematica finlandese i mezzi per prevenirlo, vietarlo e punirlo, non mancano.
Questo è il mio pensiero, magari un po’ buffo di chi non capisce un acca, ma di uno con i piedi a terra, che vorrebbe veder estirpare certi cattivi esempi.

Giorgio Israel ha detto...

Non c'è dissenso alcuna circa l'utilità minimale dei test che non intendo minimamente proscrivere: non l'ho mai detto, non ci penso affatto. Ma lei deve tenere conto che ci troviamo di fronte a un'esplicito progetto di finalizzare la didattica ai test, di cui ho dato ampiamente conto. Non so se l'Invalsi continui a muoversi in modo moderato, forse sta passando il limite. Quanto agli esempi, non ho in un blog neanche i mezzi grafici per esporre e discutere certi test (v. ad es. quello citato sul Corsera) in cui la risposta richiede un livello puramente enigmistico senza la conoscenza di alcun teorema. Ho proposto quello geometrico del Corsera ad alcuni colleghi matematici e qualcuno non vedeva neppure la soluzione a colpo d'occhio, perché non implicava alcuna conoscenza geometrica, bensì soltanto un'intuizione visiva e, tutt'al più, l'idea che le diagonali di un rettangolo sono eguali. Vorrei vedere dei test in cui è implicata la conoscenza di teoremi di geometria e di aritmetica elementare: esamini quelli somministrati e vedrà che è così. Comunque, avevo in progetto di scrivere un articolo elencando una serie di esempi emblematici. Naturalmente questo non lo farò sul blog, ma su qualche rivista. Stia tranquillo che, come sono andato a fondo della faccenda della matematica finlandese, non mancherò di farlo con i test Invalsi, soprattutto dopo il 10 maggio.

frz40 ha detto...

Se ritiene che ci sia un esplicito progetto per finalizzare la didattica al test, ha tutte le ragioni.

E' follia.

Ma per valutare e rimuovere certe carenze minimali attuali non vedo alternative.

Buon lavoro, comunque, e a presto per il nuovo articolo.

Giorgio Israel ha detto...

Siamo allora totalmente d'accordo. Ho difeso l'Invalsi ritenendo che avesse una linea ragionevole: usare i test per valutare livelli minimali di literacy ecc. che lei stesso dice di non essere nemmeno a livello minimale. L'ho difeso perché lo vedevo sottoposto alla pressione di chi voleva espandere in modo geometrico l'uso dei test e fare dell'Invalsi un sistema di valutazione complessiva del sistema, insegnanti compresi (attraverso la "misura" del differenziale di apprendimento). Ma ora mi pare che l'argine stia crollando. Che vi sia il progetto orientato al teaching to the test è evidente: basta leggere quanto scrive l'ing. Abravanel. D'altra parte, il mio dissenso con gli orientamenti che stanno prevalendo è proprio legato alla pretesa di fare dei test una "unità di misura" degli apprendimenti. Come ho scritto, il teaching to the test è già una realtà. Vada in rete e veda quanti testi di preparazione ai test Invalsi sono stati stampati. Nelle scuole molti insegnanti, soprattutto i più giovani e intimoriti, stanno dedicando queste settimane all'addestramento ai test.

Prof. Woland ha detto...

Caro Prof. Israel,
sono un professore di analisi matematica in pensione (anticipata).Ho appena scoperto il suo Blog e desidero farle i complimenti per la professionalità, la tenacia e l'amore con cui conduce la sua battaglia contro gli asini.
Aggiungo i complimenti sinceri per la sua onestà intellettuale. Spero voglia accettarli da un uomo che si definisce di sinistra ma che crede che nell'insieme degli uomini non ci siano "intrusi".
Massimo B.

Prof. Woland ha detto...

@Giorgio (non Israel)
Ha scritto detto Giorgio:
"Un’altra proprietà che accomuna tutti gli esseri umani, invece (oltre, naturalmente, a quella di essere fallibili), è quella di essere figli del Dio biblico vetero-neotestamentario: quest’ultima, però, non è molto facile da riconoscere"
Sig. Giorgio la pregherei di essere più umile e di non classificate tutti gli uomini in base al suo credo religioso. Si tratta di una arroganza e di una prepotenza. Grazie.
Rispettosamente
Massimo B