mercoledì 3 marzo 2010

BESTIARIO MATEMATICO n. 1

(il n. 0 è la proprietà dissociativa)


QUANDO SI SMETTERA' DI TORMENTARE I BAMBINI CON LA TEORIA DEGLI INSIEMI E CON LA LOGICA?
Ma se almeno venisse fatto in modo decente senza metter loro in testa idee fasulle...


Parecchi libri riportano la seguente definizione:

«Un insieme è un gruppo di oggetti che hanno una proprietà in comune»

Se considero un automobile, una mela e un canguro formano, oppure no, un insieme?
Certamente sì. 
Ma non hanno alcuna proprietà in comune.
Qualsiasi gruppo di oggetti è un insieme.

Un insieme non è definito da alcuna "proprietà comune" dei suoi oggetti!








Agli autori il premio cappello d'asino e il cortese invito a tornare a brucare l'erba nei campi

32 commenti:

Alfredo ha detto...

gentile professore,

devo dire che questo post mi ha fatto alquanto sorridere stamattina.

detto questo... a mo' di provocazione, una mela, un canguro ed un'automobile una proprieta' in comune ce l'avrebbero: quella di poter essere uniti in un insieme.

piu' seriamente... esiste una gradualita' nell'ignoranza? insomma una definizione poco felice di insieme vale una patente asinina quanto una definizione del tutto sbagliata? (o l'assenza di una definizione, la famosa "scena muta")

Giorgio Israel ha detto...

Il punto è proprio quello. Una definizione di insieme può darsi soltanto all'interno di una teoria assiomatica degli insiemi, ovvero qualcosa che non si fa neppure all'università. Perciò l'unica definizione accettabile a scuola è l'assenza di definizione: insieme nel senso comune. Tanto vale non fare la teoria degli insiemi... come hanno da tempo capito in Francia, dove l'avevano introdotta. Ma dare un'idea completamente sbagliata è devastante, perché poi il bambino se la porta dietro e crede che un insieme possa essere fatto soltanto di elementi omogenei da qualche punto di vista. E per togliergliela bisogna mettere in discussione l'autorità dell'insegnante, il libro, ecc. Quella non è una definizione poco felice. È una definizione del tutto sbagliata. E la sua battuta circolare lo dimostra spiritosamente.
Comunque, è più dignitosa una scena muta che non dire che Isaac Newton è il centroavanti dell'Inghilterra.
Vogliamo raddoppiare il cappello d'asino?

Mario ha detto...

Gentilissimo Professore, finalmente si mette il dito nella piaga. E' vero l'esperienza francese si è conclusa negativamente già da molto tempo.
Per fortuna in un corso SSIS nel 2002, la docente di logica matematica, ci avvisò di questo. Io ho fatto sia il concorso che il corso di specializzazione biennale. Le assicuro che per me è stato molto valido il secondo percorso, mentre durante il concorso ho potuto assistere a dei grossi esercizi di copia e molteplici ingiustizie!

Myosotis ha detto...

Un po' mi dispiace. Credevo che noi che partecipiamo a questo blog formassimo un insieme. Un po' eterogeneo, certo, dal punto di vista culturale, professionale, persino etnico e religioso, ma sempre un insieme... Non so chi abbia detto che "l'uomo è un animale da branco". Togliendo Animale e Branco, sono d'accordo.

Giorgio Israel ha detto...

Ma appunto! Noi siamo un insieme... Secondo quella definizione fasulla potremmo non esserlo, se non si trova una proprietà che ci accomuna...

Alfredo ha detto...

direi che il Suo blog e' la definizione per eccellenza di un insieme eterogeneo. Ma se e' possibile raddoppiare il cappello d'asino, allora e' vero che esiste una gradualita' nella "somarita'"?

al di la' delle battute, capisco il suo punto di vista e, nell'esempio specifico, lo condivido.

Credo che pero' ci siano casi e casi. Dire ad un bambino che accettare caramelle da uno sconosciuto e' male perche' "c'e' la droga" e' una balla colossale, ma ci evita di dover spiegare cosa sia la pedofilia (con il rischio di peggiorare le cose).

Spiegare l'inpulso di Dirac con l'esempio del rettangolo di altezza via via crescente e base decrescente e' un orrore matematico, ma aiuta a capire perche' non e' consigliabile cortocircuitare i terminali di un condensatore carico, senza dover ricorrere alla teoria delle distribuzioni.

Sulla dignita' della scena muta piuttosto che un indecoroso azzardo sono totalmente d'accordo, anche se ci priverebbe di una delle scene piu' divertenti di "ecce bombo".

Caroli ha detto...

COMPLIMENTI.
Io faccio scuola di comunità di CL in una clinica, sotto la guida di un otorinolaringoiatra, con a comporre il gruppo: il titolare della clinica, medico; sua moglie oncologa; un medico internista; un tecnico radiologo; due professoresse, una delle quali in pensione; una postina; un ex pasticcere in pensione; una barista ed un altra persona che non so cosa faccia. Siamo un insieme?

hybridslinky ha detto...

Professor Israel che cosa fa? Ruba le idee al professor Paolo Diodati di Perugia? (http://andreamacco.wordpress.com/2010/02/01/votate-per-lasino-doro-2009/ )

Scherzo.

Ovviamente son d'accordo su tutto.

Francesco

Giovanna ha detto...

Sono d'accordo con lei circa l'assurdità della definizione in oggetto. Nella scuola elementare operare classificazioni è tuttavia un esercizio cruciale e disegnando insiemi i bambini comprendono meglio perché possono sommare una mela, un canguro ed un'automobile soltanto se si vogliono contare, ad esempio, gli elementi i cui nomi sono singolari. Insomma, data la necessità di ricorrere al concreto ed all'operatorio, giudico positivamente l'utilizzazione di un poco di insiemistica elementare con i bambini, naturalmente evitando il più possibile di semplificare ricorrendo a definizioni scorrette. Comunque la mia lunga esperienza di insegnante mi ha portata a capire che i bambini sono in grado di abbandonare credenze erronee molto più facilmente degli adulti: il loro stesso sviluppo cognitivo è costituito dal continuo abbandono, e successiva riedificazione, delle personali ipotesi di spiegazione dei fenomeni che si sgretolano di fronte alle nuove conoscenze acquisite.

Lucio ha detto...

Si, sono d'accordo anch'io con quanto dice Giovanna. Anzi, credo che l'insegnamento della teoria degli insiemi sia fondamentale, ed andrebbe introdotta per gradi, come si fa con altri argomenti della matematica, arrivando all'impostazione assiomatica rigorosa alle scuole superiori (o forse anche alle medie). Certo, vanno evitate le definizioni sbagliate, come questa, ma mi sembra piu' importante che gli alunni si impadroniscano delle operazioni fondamentali di unione, intersezione, complementazione etc. Mi sembra che, anche a livello di scuola primaria, si possano tranquillamente introdurre i due modi elementari di definire un insieme, quello estensivo e quello intensivo (cioe' elencandone gli elementi o indicando una proprieta' comune), concetti alla portata degli alunni di quell'eta'.

Cordialmente,
Lucio Demeio

Giorgio Israel ha detto...

Mi permetto cortesemente di dissentire e poi motiverò ulteriormente quanto dico:
a) le classificazioni sono un aspetto fondamentale ma non sono affatto caratteristiche della matematica. L'idea che la matematica vada introdotta come materia classificatoria è una bestialità pedagogica priva di senso sciaguratamente introdotta dalle ultime indicazioni nazionali. (Ovunque si classifica. Che c'entra la matematica?).
b) La teoria degli insiemi non è affatto fondamentale per la matematica e i francesi che l'avevano introdotta nella scuola hanno fatto rapidamente macchina indietro. Perché:
c) la teoria degli insiemi e della cardinalità serve soltanto nel caso infinito e quindi è improponibile nelle elementari. Nel caso finito tanto vale parlare di numero di elementi.È un'inutile aggravio di definizioni e di linguaggio.
d) La teoria assiomatica degli insiemi (quella vera, non le parodie pseudodidattiche) è troppo difficile, non si fa neppure all'università, salvo che in corsi specializzati. Figuriamoci a scuola!... Che volete fare: introdurre l'assiomatica di Zermelo-Fraenkel nelle scuole medie?... Ma da dove vi vengono simili idee?!...
e) Non esistono le definizioni di insieme non assiomatiche, salvo il ricorso al senso comune, ovvero all'uso ordinario della parola. (provate a sfogliare un po' di libri seri di algebra). La distinzione tra definizione estensiva e intensiva appartiene al bestiario matematico, come farò vedere. Caro prof. Demeio, se lei ammette che la definizione che ho messo alla berlina è sbagliata - e nessuna definizione accettabile esiste salvo quella assiomatica! - come fa ad accettare la definizione che procede "indicando una proprietà comune"? Si contraddice. Per lo più questa proprietà comune non esiste e per questo ho criticato quella pseudodefinizione. Quasi tutti i sottoinsiemi dei naturali non hanno proprietà comuni!.... Quasi nessun insieme è definito da una proprietà comune! Perciò sia coerente e si renda conto che quella distinzione - introdotta da didatti con il cappello d'asino - non ha alcun senso.
"Evitando di semplificare?"... Al contrario. Occorre semplificare al massimo evitando di complicare con definizioni inventate che non esistono in alcun libro di matematica degno di questo nome.
Lo scandalo dei libri di testo è il proliferare di definizioni completamente inventate - come la legge dissociativa, ma ne vedremo molte altre - che non fanno altro che disastrare la mente dei bambini.
Per favore, riflettete a fondo, prima di provare a ribattere.
A Caroli: sì, siete un insieme, perché un insieme non ha bisogno di essere definito con una proprietà comune. Se poi c'è - in alcuni limitati casi, come "la totalità dei numeri pari", "la totalità dei dispari minori di 35" o che so io - tanto meglio. Ma non succede quasi mai.

alessandro ha detto...

Egregio Professor Israel, ne approfitto di questo Suo intervento sulla Matematica per chiederLe un parere sul fatto che nei nuovi licei (linguistico, classico, pedagogico) la Matematica sarà insegnata nel triennio con due ore. Io insegno in un liceo linguistico statale e attualmente al triennio ho tre ore per classe: mi sembrano un numero minimo adeguato per insegnare con una certa "profondità" questa materia.
La ringrazio e porgo cordiali saluti,
Alessandro Bordin

Giovanna ha detto...

Caro prof. Israel, quando ho scritto "evitando il più possibile di semplificare ricorrendo a definizioni scorrette" mi sono davvero espressa male. Avrei dovuto dire "evitando di ricorrere a definizioni scorrette per semplificare". Certo che semplificare è indispensabile, ed ovviamente la classificazione non è prerogativa esclusiva della matematica. A maggior ragione è importante far lavorare i bambini su insiemi e sottoinsiemi, insiemi complementari e intersezione. Se utilizzare a scuola il termine "insieme" costituisce un'intrusione arbitraria e ridicola nella teoria assiomatica degli insiemi, potremmo sostituirlo con "gruppo" o "raggruppamento" e non se ne parli più. In tutti i casi per risolvere i problemi di aritmetica occorre essere in grado di attribuire o no proprietà comuni agli elementi dati. E' proprio qui che cascano gli "asini".

Lucio ha detto...

No, no, Zermelo Frenkel alle medie no, ma alle superiori, magari all'ultimo anno di un liceo scientifico direi di si.

Lei tocca un tasto che non e' limitato alla teoria degli insiemi. Se ho ben capito il suo pensiero, o la si insegna per via assiomatica (Zermelo Frenkel) o non la si insegna per nulla. Ma "cose" di questo tipo sono molto presenti nell'insegnamento della matematica (e della fisica) a tutti i livelli. Io ho studiato Meccanica Analitica senza aver mai visto lontanamente un fibrato tangente e nemmeno (orrore ...) una forma differenziale (sono argomenti che ho acquisito solo a posteriori). Lei stesso dice che la teoria assiomatica degli insiemi non la si studia nemmeno all'universita', eppure i corsi di Analisi li insegniamo lo stesso (e li', senza l'insiemistica, non se ne vien fuori). Insegniamo le equazioni differenziali senza la teoria degli operatori, etc. E tutto questo senza che si debba gridare allo scandalo. Cosi', nei corsi di Analisi, viene introdotto un "cappello" di insiemistica, dove il concetto di insieme viene dato per primitivo, un po' come si fa in geometria con punto retta e piano o in meccanica con il punto materiale. E che devo dire? Che i miei figli l'hanno imparata esattamente allo stesso modo ... alle elementari! E che il concetto di insieme gli e' stato introdotto come concetto primitivo, probabilmente con degli esempi, sia con oggetti omogenei sia con oggetti disparati. Cosa c'e' di sbagliato?

Definizione estensiva o intensiva bestiario matematico? Mi riprometto un approfondimento ...

Cordialmente,
Lucio Demeio

Giorgio Israel ha detto...

Avevo supplicato di non rispondere affrettamente...
Ma cosa c'è da approfondire? La definizione "intensiva" è proprio quella che lei ha ammesso essere sbagliata:::
E quanto a Zermelo-Fraenkel al liceo, ma dico, stiamo scherzando?... Ma se non si fa neppure all'università!... La teoria degli insiemi serve all'università, per il linguaggio della topologia, ecc. ma serve in forma ingenua e basta, a parte un po' di teoria della cardinalità in algebra. A scuola - ripeto - è inutile e anzi dannosa, per il semplice motivo che se non si studiano insiemi infiniti è pleonastica. Il concetto di cardinalità per gli insiemi finiti equivale a quello di numero naturale.
D'accordo con Giovanna sul primo punto. Ma se gli insiemi con la classificazione non c'entrano nulla, mi vuol spiegare perché tormentare i bambini con intersezioni, ecc.? La parola insieme va benissimo, ma nel senso comune del termine.
Comunque, se interessa, stamattina ho fatto una passeggiata per il mio dipartimento chiedendo a tutti i colleghi che ho incontrato cosa pensassero della definizione di insieme intensiva ed estensiva, della divisione per ripartizione e contenenza e della legge dissociativa, raccogliendo espressioni stupefatte e incredule.
Ormai la matematica che si insegna a scuola è un mondo a sé che sta perdendo relazioni con la matematica propriamente detta.
Ad Alessandro dico che in effetti due ore mi paiono poche. Tuttavia, aspettiamo i programmi. Se si sfronda tanto ciarpame, soprattutto l'idea deleteria che la matematica sia un dipartimento della logica.

Alessandra ha detto...

Sono pienamente d'accordo col prof. Israel. Insegno alle scuole medie. Il primo anno di insegnamento, ingenuamente, seguendo il libro di testo, proposi un po' di insiemistica ad alunni di prima media. Mi ripromettevo di esaurire l'argomento rapidamente, perché già allora non lo trovavo fondamentale. Rimasi molto colpita dalle enormi difficoltà che avevano i ragazzini a comprenderne i concetti fondamentali (ad esempio il concetto di sottoinsieme). L'insiemistica mi portò via così molto tempo, che sarebbe stato sicuramente meglio speso trattando altri argomenti. Da allora non ho mai più ripetuto l'errore. Ritengo che l'insiemistica sia troppo astratta per i ragazzini delle medie (figuriamoci alle elementari) e che sia un errore farla tanto presto, visto che all'università, quando gli allievi avranno capacità cognitive adulte, verrà svolta in poche lezioni. Dato che il tempo è poco è meglio usarlo per lavorare sull'aritmetica (i ragazzini di prima media spesso non sanno fare i calcoli a mente, ad esempio) o sulla geometria, che sono argomenti più alla portata di bambini di quell'età.

Giorgio Israel ha detto...

Lei mi apre il cuore...

Alfredo ha detto...

gentile Alessandra,

un modo per spiegare i sottinsiemi ci sarebbe. potrebbe seguire le indicazioni del Professore, e dire che un sottinsieme e' un raggruppamento arbitrario degli elementi - a sua volta arbitrari - dell'insieme (arbitrario anch'esso), incluso eventualmente l'insieme stesso (che tranne nel caso di un noto paradosso di Russell credo, e che se ricordo bene stava costando il suicidio a Frege, e' pur sempre un sottinsieme di se stesso)

Oppure, per fare un esempio concreto, potrebbe dire che i toscani sono un sottinsieme degli italiani. Che, se si e' leghisti almeno, e' l'esempio pefetto di insieme eterogeneo. o se vogliamo di insieme complemento: gli italiani sono tutti coloro che non sono francesi, inglesi, spagnoli... :)

Giorgio Israel ha detto...

Salvo che invece di divagare sui leghisti potrebbero fare un po' di matematica

Alessandra ha detto...

Gentile Alfredo,
il problema è che i ragazzini di prima media fanno fatica a capire sia la definizione che lei ha detto sia l'esempio. O meglio: l'esempio coi toscani e gli italiani lo capiscono, ma di fronte a un esercizio appena un po' diverso vanno in crisi.
Per esempio, per molti undicenni un esercizio del tipo : dato l'insieme A i cui elementi sono a, b, c, d, e, scrivere tutti i sottoinsiemi contenuti in esso , è un esercizio difficile.
Ovviamente ci sono anche undicenni che comprendono al volo, ma la maggior parte no. E' incredibile, ma è così.
So bene che parte della difficoltà dei miei alunni era dovuta alla mia inesperienza come insegnante, ma anche ora, dopo 10 anni di insegnamento, sono convinta che insegnare l'insiemistica ai bambini sia uno spreco di tempo, una fatica inutile, visto che quando gli servirà veramente (all'università) la capiranno senza nessuna difficoltà.
Ciò non toglie che quando capita che servano gli insiemi (ad esempio si usano quando si spiegano MCD e mcm) li utilizzo tranquillamente, ma senza darne definizioni o proprietà, quasi come se fossero un disegnino (lo so che è uno po' brutale) che serve per rendere più chiare le cose.

Lucio ha detto...

Risposta affrettata? Forse. Ma ho l'impressione che non ci siamo capiti. Pazienza. Lasciamo stare senno' finisce in una "dotta divagazione" come altre volte.

Invece: gli assiomi di Zermelo-Fraenkel a me paiono perfettamente adatti ad una Quinta Liceo. Prenda un libricino come l'Halmos, "Teoria Elementare degli Insiemi"; non e' comprensibile da uno studente di quinta? Il linguaggio e' abbastanza informale e molto chiaro.

Una curiosita': La definizione errata di insieme come collezione di elementi che hanno una certa proprieta' compare nel celeberrimo Courant and Robbins "Che cos'e' la Matematica?", anche nell'edizione riveduta e corretta del 2000 (quella originale e' se non erro del 1941), pag.156-157. Forse dovremmo prima mettere a posto il nostro giardino ...

Lucio Demeio.

Alfredo ha detto...

e va bene, si scherzava un po'.

pero' mi chiedo: come e' possibile, ad esempio, spiegare la programmazione orientata agli oggetti - che e' come dire la programmazione moderna - senza un minimo di insiemistica? concetti come ereditarieta' semplice, multipla o parziale, "overloading" delle funzioni (mi manca la terminologia italiana), ma anche semplici costrutti come le strutture e le unioni, sono naturalmente rappresentati da paradigmi grafici tipici dell'insiemistica. ora, la OOP non e' certo un argomento da scuola elementare, dubito che possa essere insegnata alle medie, ma in qualsiasi istituto superiore che voglia insegnare seriamente programmazione, e' assolutamente essenziale. Come e' possibile risolvere questo problema senza ricorrere ad un minimo di insiemistica, seppur grossolana?

altro esempio, sulla falsariga dell'intervento di Lucio: nel corso di Fisica I (ingegneria, vecchio ordinamento) si utilizzano concetti - equazioni differenziali in primis - che verranno spiegati solo negli anni successivi con Analisi II e III, e compresi veramente solo al quarto, quinto anno (penso ad esempio alla trasformata di Laplace, o ancora di piu' alla trasformata Z, essenziale nell'analisi dei sistemi numerici). E' stato molto faticoso per me - e non solo per me - seguire Fisica I "sulla fiducia", ma non impossibile. E' possibile trovare un compromesso?

Giorgio Israel ha detto...

Non dimenticate che il post parla di INSEGNAMENTO AI BAMBINI. Perciò programmazione, ecc. non c'entrano niente. Possiamo discutere se valga la pena di introdurre un po' di insiemistica elementare al liceo, ma è un altro par di maniche. Quanto a Zermelo-Fraenkel e Halmos continuo a non essere d'accordo. Ci sarebbe ben altro da fare.
Quanto a Courant e Robbins - e, se per questo anche Van der Waerden ma nessun libro più recente di algebra - in un contesto di un manuale di matematica dando quella definizione escludono una marea di insiemi, anche matematicamente interessanti ma è comunque lecito adottarla. Quel che non è lecito è dire che un insieme può definirsi in modo intensivo o estensivo, come se queste due definizioni non fossero totalmente diverse e persino incompatibili. Non si può dare una definizione di insieme, se non a livello assiomatico, occorre come fanno tutti i libri ben fatti assumere la nozione di insieme come una NOZIONE PRIMITIVA, ovvero come è suggerita dall'intuizione, aggregato di elementi.
Comunque grazie. Approfondisco il problema nel prossimo Bestiario.

vanni ha detto...

Proprio per concordare con quanto detto da Giovanna e Alessandra : qualora si decida (qualora si decida: assiomi di Zermelo-Fraenkel e antinomie di Gödel-Botul per ora no, aspettiamo) che una certa cosa debba essere insegnata, non è giusto puntare fin dall'inizio a un approccio rigoroso? Io non credo che il concetto di rigore e quello di limitazione si escludano. Ci si adegui alle possibilità dello studente - elementare, medio, superiore – e si trasferiscano i concetti laddove si può mantenere precisione e correttezza. Ci sta che non sia facile (e pure che piacerebbe far di più ma non è realistico).
Non ho fatto studi di pedagogia, casco facilmente nel radicalismo e nell'intransigenza, certe cose mi sembrano semplicemente di buon senso; ma ho imparato i rischi insiti in una certa quale approssimazione (un'approssimazione che nasce spesso da uno stile dello spirito, da un habitus mentis, e ne è la spia) che non porta alla vicinanza e all'aderenza, ma alla sottovalutazione, a lla sciatteria, all'errore; quantomeno li favorisce.

Alfredo ha detto...

... effettivamente, sono andato un po' "fuori tema", come si diceva una volta (e spero si dica ancora). Volevo solo dire che a volte e' possibile essere "esposti" a concetti che poi verranno chiariti piu' avanti. Ad ogni modo, credo valga l'evidenza sperimentale di Alessandra, sebbene sia convinto che un po' di insiemistica, seppur spiegata in maniera ingenua e grafica - e senza definizioni scorrette - possa essere utile. Proporrei un altra bestialita', anche se non so se si trovi nei libri di testo: la divisione per zero e' pari ad infinito.

saluti (e buon finesettimana)

Caroli ha detto...

Io sapevo che il limite per x che tende a zero di 1/x tende all'infinito. Ma dire che la divisione per zero è pari all'infinito concordo che è una bestialità.

Nautilus ha detto...

Sì, però, se ho capito bene quel che vuol dire Alfredo, i limiti si fanno in IV o V. Ora in fisica già in I capita d'incontrare grandezze espresse da frazioni in cui occorre spiegare cosa succede se il denominatore tende a zero o a infinito mentre il numeratore no: questo i ragazzi lo capiscono benissimo anche senza il concetto di limite. E così per derivate o integrali.
Come dice Alfredo, spesso siamo "esposti" a utilizzare concetti approssimativi, ma affidandosi all'intuizione è possibile cavarsela ugualmente, rimandando il rigore a più tardi.

Alfredo ha detto...

Signor Caroli,

non voglio rubare il mestiere al Professore, ma in effetti anche dire che il limite per x che tende a 0 di 1/x e' scorretto. Se ci avviciniamo a 0 con valori positivi, tende a +infinito, se ci avviciniamo con valori negativi, tende a -infinito. una differenza... infinita! In realta' e' il concetto di divisione ad essere in qualche misura fuorviante. Dai miei ricordi sbiaditi di analisi, si definisce un'algebra solo a partire da somma e moltiplicazione. Dopodiche' si definisce "inverso di un numero x diverso da zero" quel numero che moltiplicato per x, da' come risultato l'elemento neutro della moltiplicazione, cioe' 1. Insomma, la divisione per zero non e' proprio definibile! Molti anni fa, ebbi l'onore di dare ripetizioni di matematica ad un ragazzino "difficile" (troppo povero evidentemente per pagarsi un professore di matematica vero). L'unico modo che trovai per spiegare la divisione per zero era questo: se 2/0=infinito, e 1/0=infinito, allora 2/0=1/0. ma moltiplicando entrambe i membri per 0 - operazione lecita - ottengo il risultato 2=1.

Insomma, per parafrasare Hegel, "nella notte della divisione per zero, tutti i numeri sono uguali" :)

cordiali saluti,

Alfredo

Giorgio Israel ha detto...

Queste considerazioni bisognerebbe andarle a fare a Eulero che definiva l'analisi infinitesimale come il calcolo di tutte le forme del tipo 0/0....

Alfredo ha detto...

... ma non si era detto che si parlava di insegnare la matematica ai bambini? Dubito che potrebbero sopravvivere al concetto delle forme 0/0!

Giovanni ha detto...

Salve a tutti,

con riferimento alla definizione di insieme citata:

«Un insieme è un gruppo di oggetti che hanno una proprietà in comune»

credo che si sia stati troppo frettolosi e forse prevenuti nei riguardi di chi l'ha scritta. In quanto, sempre rimandendo su un piano non formale, si potrebbe interpretare la frase "proprietà comune" come "proprietà *soddisfatta* da tutti gli elementi del gruppo". Quindi non nel senso di oggetti necessariamente omogenei, ma nel senso di oggetti che tutti quanti soddisfano una certa proprietà. Personalmente comunque preferisco la definizione originaria di Cantor.

Ho poi letto nei vari commenti che l'unica teoria degli insiemi è quella assiomatica. Mi sento di dissentire per la seguente ragione: la teoria ZF ma anche NBG, e in generale tutte le teorie assiomatiche, si basano su di un metalinguaggio basato sulla teoria *ingegua* degli insiemi. Senza una teoria ingenua degli insiemi a rigore non è nemmeno possibile scrivere le regole di deduzione di una logica. Ritengo pertanto davvero importante insegnare la teoria ingenua degli insiemi (mettendone in evidenza paradossi e antinomie, mostrando ciò che è semanticamente lecito esprimere con tale linguaggio). Insomma insegnare quel sottoinsieme della lingua italiana che va sotto il nome di "teoria ingenua degli insiemi". Del resto anche il programma finitista hilbertiano era espresso nel linguaggio naturale e mirava a delineare le metadeduzioni accettabili in un contesto "informale" qual è quello metateorico.

Cordialmente,
Giovanni.

Giorgio Israel ha detto...

Non ci siamo capiti. Un insieme, per essere tale, non ha bisogno di essere composto di elementi che soddisfano una proprietà. Possono essere oggetti totalmente eterogenei senza nulla in comune. Quindi, quella definizione è comunque una castroneria. Punto.