giovedì 4 marzo 2010

BESTIARIO MATEMATICO n. 2

Approfondiamo il bestiario matematico relativo alla teoria degli insiemi nelle scuole primarie (elementari).

In molti libri, in molti documenti in rete adottati anche da circoli scolastici, istituti, ecc. si legge che un insieme può essere definito o rappresentato in tre modi:

- per caratteristica, ovvero secondo una proprietà che lo definisce, detta anche definizione intensiva.
Esempio:  P = {insieme di tutti i numeri pari}

- per elencazione, ovvero elencando materialmente tra parentesi i suoi elementi, detta anche definizione estensiva
Esempio. A = {3, 5, 9, 17}

- con un diagramma di Eulero-Venn (locuzione inutilmente pomposa) ovvero con un disegno che rappresenta in modo simbolico l’insieme.




Prima castroneria (didattica):

I diagrammi di Eulero-Venn furono introdotti per la prima volta da Eulero nelle Lettere a una principessa di Germania, per spiegare alla principessa l’inclusione di certi concetti. Ad esempio, il fatto che ogni essere umano è mortale (ma non il viceversa) è rappresentato simbolicamente da questa inclusione (propria) di cerchi:

Ma è facile capire che se pretendo di rappresentare l'insieme delle vocali – dato "per elencazione", V = {a, e, i, o, u} con il sottostante disegno, il  bambino tende a confondere completamente l’insieme qual è realmente – un elenco finito di cinque oggetti – con la figura geometrica a ellisse  dentro cui ballano quei cinque elementi. 

E vedremo subito le conseguenze di questa confusione.
Comunque questa terza “definizione” è soltanto un espediente grafico, un disegno che aiuta, non ha niente a che vedere con le prime due.

Seconda castroneria (concettuale):

Le prime due non sono due definizioni o rappresentazioni della stessa nozione. DANNO LUOGO A NOZIONI PROFONDAMENTE DIVERSE. La definizione “intensiva” restringe enormemente il numero di insiemi considerabili – per esempio A non è definibile mediante alcuna proprietà e gli esempi analoghi si sprecano. La definizione per elencazione è completamente diversa e comprende una marea di casi di insiemi che non sono definiti da alcuna proprietà mentre, d’altra parte molti insiemi definiti da proprietà non sono elencabili (tali sono, per esempio tutti gli insiemi infiniti).
La “definizione” restrittiva è errata e fuorviante anche perché la nozione primitiva di insieme – ovvero dettata dalla nozione comune, usuale, di insieme – può tranquillamente includere i casi in cui l’insieme può essere caratterizzato da una proprietà. Il viceversa non è vero, e quindi la seconda oltre ad essere indebitamente restrittiva, non è intuitiva. I matematici possono anche adottare tale definizioni per alcuni loro scopi ristretti, ma si tratterebbe di una scelta oltre che discutibile, didatticamente sbagliata (nessun libro moderno lo fa).
A questo punto è evidente che è pazzesco assegnare come compito o “verifica” ai bambini esercizi consistenti nel rappresentare un dato insieme nei tre modi anzidetti. Se il bambino è sveglio presto si accorgerà che vi sono insiemi che non sono suscettibili di tutte le rappresentazioni e gli crollerà tutto addosso (a lui e all’insegnante… a meno che questi non cerchi di soffocargli lo spirito critico).

Ora veniamo alla più grande BESTIALITA’ (concettuale e didattica):

È il modo in cui viene frequentemente introdotto il concetto di elemento che non appartiene a un insieme (da cui poi viene il concetto di complementare di un insieme ecc. ecc.).

Si legge in alcuni dei testi suddetti:

Un elemento che non appartiene all’insieme viene chiamato INTRUSO.

Raramente un termine fu più infelice e fuorviante.

«Cerca l’intruso» si propone in un esercizio-verifica e si propone un diagramma di Eulero-Venn del tipo dato nella figura seguente, dove l’insieme dato in forma di elenco è quello delle vocali, V:

L’elemento “intruso” è 8……

Ma con questa rappresentazione geometrica il bambino interiorizza l’idea che l’intruso è un elemento che non dovrebbe stare dentro perché non è nella lista ma che si è infilato “dentro” abusivamente. DENTROperché, in effetti, sta DENTRO! Altrimenti non lo si chiamerebbe INTRUSO!!!
Proprio come un «imbucato» in una festa che non dovrebbe starci, ma di fatto ci sta, sta dentro casa e non fuori.
Cioé dovrebbe star fuori, ma viene messo dentro per farlo vedere, chiamandolo però "intruso".
Quando viene il buttafuori?.....
Ci sarebbe da ridere se non fosse da piangere.
Chi ha pensato questa trovata merita il cappello d’asino.

Una considerazione finale.
Tutte queste disquisizioni aberranti hanno una caratteristica comune:

la mancanza di semplicità, il voler complicare a tutti i costi, il non volersi rifare a nozioni intuitive, proprio mentre si dichiara di inseguire il facile e il semplice.

Chi realizza questo exploit è tipicamente una persona con le idee confuse.
E le persone con le idee confuse si rifugiano dietro la moltiplicazione delle definizioni e delle nozioni. Insomma violano sistematicamente l’aureo principio del rasoio di Guglielmo di Ockam:

Entia non sunt multiplicanda praeter necessitatem
(Gli enti non debbono essere moltiplicati al di là del necessario).

Vedremo prossimamente altri esempi di indebita moltiplicazione delle definizioni.

35 commenti:

Myosotis ha detto...

Questa dell'intruso mi sembra la castroneria più gravida di conseguenze negative. In questo insieme creato dal blog, chi è l'intruso? Il titolare del blog che è di origine ebraica, io che non sono laureato in matematica, chi non fa o non ha fatto l'insegnante, Giovanna che non è un maschio...? Disastrosa può essere la conseguenza in una scolaresca, dove il bambino, magari senza dirlo, considererà intruso il cinese, o l'albanese, o il marocchino. Intruso mi sembra un termine da bandire, e non solo dalla matematica.

Lucio ha detto...

Immagino che questo suo nuovo post sugli insiemi sia scaturito dai miei commenti, e spero non l'abbia fatto solo prendermi in giro. Anche perche', alla fine, le divergenze concettuali mi sembrano molto ridotte. Sono assolutamente d'accordo sull'introduzione della nozione di insieme come concetto primitivo (a qualunque livello lo si faccia, senza dover ricorrere all'impostazione assiomatica), e l'avevo anche detto in maniera piu' che esplicita. Ovviamente, esiste una marea di insiemi che sono caratterizzabili in uno solo dei due modi (per elencazione o per specificazione) ed esistono molti insiemi finiti che sono caratterizzabili in entrambi i modi. Non ho esperienza didattica alle scuole primarie, se non quella derivante dai miei figli, ed a loro l'introduzione dell'insiemistica non ha creato alcuna confusione.

La storia dell'intruso mi sembra incompleta; bisognerebbe anche vedere come e' stata spiegata dall'insegnante. Ma e' chiaro che una rappresentazione grafica di questo genere induce a pensare che la caratterizzazione per specificazione sia quella corretta, o quantomeno quella piu' importante.

I diagrammi di Venn li ho sempre incontrati (da studente e da docente) come uno strumento grafico ausiliario e non mi sono mai sognato di dire o pensare che fosse una "terza via" per caratterizzare un insieme. Anzi, il docente che la introdusse a noi al primo anno di universita' (nel corso di Geometria) prendeva in giro Venn per essersi guadagnato cotanta fama con un'idea cosi' banale.

Cordialmente
Lucio Demeio.

PS. Nel nostro insieme l'intruso sono forse io, che la penso sempre diversamente.

Giorgio Israel ha detto...

Caro Demeio,
1) lei è persona troppo gentile e rispettabile perché mi passi per la mente di scrivere un post per prenderla in giro; per quelli scortesi e non rispettabili non perderei comunque tempo.
2) anch'io forse ho quel minimo di rispettabilità che faccia pensare che non scrivo un post solo per rispondere ai commenti (ai commenti ho risposto con commenti e, in certi casi, non ne ho tempo).
3) In verità ho una lunga lista pronta di bestialità didattiche matematiche (e questa era la n. 2, in quanto connessa alla prima) che intendo distillare un po' per volta per non trasformare il blog in un blog matematico.
4) Lei non è affatto un intruso. Gli unici che lo sono sono i (pochissimi!) che inviano insulti e che censuro, escludendoli dall'insieme come si deve fare in una teoria degli insiemi minimamente corretta.
Ciò detto, una certa sua "impermeabilità" agli argomenti altrui la noto... Ma come fa una persona con una preparazione scientifica come la sua a tergiversare nel giudizio sulla nozione di "intruso", certamente la più indecente tra quelle finora citate? E come fa a non cogliere il fatto che la moltiplicazione di nozioni, definizioni e termini è qualcosa di pessimo? Infine, se lei è "assolutamente d'accordo" sull'introduzione della nozione di insieme come concetto primitivo, ovvero su una introduzione "ingenua" della teoria degli insiemi a livello scolastico (e anche universitario non specializzato), deve convenire che questo significa NON DARE ALCUNA DEFINIZIONE DI INSIEME, riservando questa soltanto all'approccio rigorosamente assiomatico (Zermelo-Fraenkel o Von Neumann-Bernays). E allora perché continua ad aggirarsi attorno a "caratterizzazioni" insensate come quelle "intensive" ed "estensive"? A che servono? All'università nessuno me ne ha mai parlato, eppure sono stato naturalmente abituato a scrivere un insieme nel modo caso per caso più comodo per descriverlo, e questo modo di descrivere, o semplicemente di scrivere non ha bisogno di nomi PERCHE' NON E' UN CONCETTO. Nessuno, dico nessuno, sa all'università che cosa diamine sia quella distinzione. L'hanno inventata certi "didatti", funzionari dell'Ufficio Complicazione Affari Semplici.
Tutti i libri di algebra moderna partono con la "nozione primitiva", assimilando la migliore idea dei bourbakisti: lasciar perdere la logica e limitarsi a un approccio minimale che garantisca il ragionamento matematico dai paradossi. È una lezione degli anni '50. Quindi, nessuno stupore che il manuale di Van der Waerden (pubblicato nel 1927 e scritto chiaramente quando ancora neppure era diffusa l'assiomatica degli insiemi) usi una pseudodefinizione con le proprietà. Altrettanto dicasi per Courant e Robbins, anche se più tardo ma comunque del 1941 (la revisione recente non poteva toccarne la struttura).
Si arrenda all'evidenza, la prego.
E se i suoi figli non hanno subito danni dall'insegnamento dell'insiemistica, meglio per loro, ma posso citarle uno sfascio di esempi opposti. Vedrà cosa uscirà fuori al prossimo Bestiario a proposito di cardinalità di insiemi.... Poi parleremo di divisione, di proprietà commutativa, ecc. ecc. Tempo al tempo...
Cordialmente

Giovanna ha detto...

Molto d'accordo con questa sua frase, prof. Israel, che mi sembra potrebbe anche chiudere la discussione:"se è d'accordo...su una introduzione "ingenua" della teoria degli insiemi a livello scolastico (e anche universitario non specializzato), deve convenire che questo significa NON DARE ALCUNA DEFINIZIONE DI INSIEME...".
Quanto al termine "intruso" secondo me si tratta semplicemente di un vocabolo del linguaggio comune usato per esplicitare una banalissima consegna circa lo svolgimento dell'esercizio. In altri testi potremmo trovare perifrasi del tipo "Segna con una X l'elemento che secondo te non appartiene all'insieme".
Per quanto riguarda i diagrammi di Venn effettivamente vengono usati in quasi tutte le discipline e in ogni ordine di scuola in quanto grafici di grande semplicità ed immediatezza .

Giorgio Israel ha detto...

Sono contento che si sia d'accordo sulla prima parte. Ma sul resto evidentemente non riesco a spiegarmi. NON SI PUO' METTERE UN ELEMENTO DENTRO UN INSIEME E POI DICHIARARE CHE NON NE FA PARTE. E' un errore logico elementare. Il termine "intruso" è il segno di questa confusione mentale. Non esiste giustificazione con consegne di svolgimento o altre motivazioni. E quanto ai diagrammi di Venn nessuno dice che non si debbano usare, ma è inaccettabile che si usino in questo modo scorretto.
Non bisogna difendere l'indifendibile.
Mi scusi, ma alla fin fine sono un matematico di formazione, e mi fa orrore veder presa a calci la disciplina (e la logica elementare) in questo modo.

martino ha detto...

forse la soluzione è denunciare la nozione di "intruso" perché non educa i bambini alla cultura dell'alterità, della diversità e del dialogo.

Qualcuno ha mai provato a parlare con quell'"8"? Magari ha tante cose interessanti da dirci :-)

Nautilus ha detto...

Di solito intervengo solo quando sono in disaccordo, totale o parziale, con le tesi del professore, ma stavolta lo debbo dire, la frase “QUANDO SI SMETTERA' DI TORMENTARE I BAMBINI CON LA TEORIA DEGLI INSIEMI E CON LA LOGICA?
ha aperto il cuore anche a me: allora non sono solo nell’universo!
Scherzi a parte, quando parecchi anni orsono venne da me il bimbo dei vicini col quaderno pieno di rudimentali parentesi graffe e ovali che s’intersecavano mi stupii: cos’era quella roba? “Facciamo l’insiemistica!”, mi confidò con un certo orgoglio.
Per poco non casco dalla seggiola: i miei alunni al liceo non sapevano fare l’equivalenze né trovare l’area del cerchio e usavano la calcolatrice per dividere per 10...Tutto mi fu chiaro! Ecco la causa! Ecco come si perdeva tempo alle elementari invece di far roba seria! Naturalmente scherzo di nuovo, però…
Ora, io ammetto d’essere un talebano, nemico di tutte le novità educative di qualunque genere: dai libri di testo, agli ausili didattici ai cambiamenti avveniristici dei programmi. Non so, ma davvero c’è bisogno di lunghe sperimentazioni per arrivare alla conclusione che qualcosa è chiaramente sbagliato? Non dovrebbe bastare il buon senso e un po’ di pratica didattica?
Ricordo l’arrivo del primo M20 nel mio laboratorio…gli entusiasmi…si apriva una nuova era…Dopo un mese potevo dichiarare: per la didattica questi PC sono inutili, anzi dannosi. Ma siccome non comandavo io e il progresso deve fare il suo corso, arrivarono gli M24 poi gli M300 e stampanti e plotter e interfacce mirabolanti e programmi dedicati…
Ora son tutti lì a prendere la polvere, anche il più progressista s‘è convinto: valore didattico 0, al massimo sono utili come strumenti di misura. Prima che qualcuno s’arrabbi: in lab. il PC è utilissimo! Per far calcoli ma non per spiegare. Per la didattica, cento volte meglio la lavagna e la carta millimetrata. Poi, questa è solo la mia esperienza, altri potranno dire esattamente il contrario, in didattica non si finisce mai d’imparare.
Quanto all’”intruso”…: si vuol spiegare la logica confutandola fin dall‘inizio?

Gianfranco Massi ha detto...

Chissà perché quell '8 era stato definito intruso e non, ad esempio, errore? Mentre l' ideatore potrebbe essere, oltre che asino, un seguace della complessità.
G. Massi

epsilondelta ha detto...

Sono contenta della pubblicazione di questo bestiario. Sono un'insegnante di matematica (precaria, ma "abilitata") e nella mia breve esperienza (errante) ho dovuto insegnare anche la teoria degli insiemi, mettendomi le mani nei capelli. Il libri di testo della superiori non continuano in maniera certamente migliore, visto che immediatamente dopo, si passa alla trattazione dell'insieme dei numeri naturali (e fin qui andrebbe ancora bene), quindi dell'insieme dei numeri razionali assoluti (aiuto!), per passare infine all'insieme dei numeri relativi (aaahhh!!!). Ma lascio a lei il compito di continuare con il bestiario, a me rimane il compito di cercare di fare meno danni possibili, se ci riesco: primun non nocere ...

Giovanna ha detto...

Gentile prof. Israel, mi scusi se insisto approfittando della sua cortesia, ma questo argomento è per me molto interessante perchè riguarda il mio lavoro quotidiano. Se accettiamo che nella scuola primaria si possa introdurre una teoria "ingenua" degli insiemi(personalmente ho sempre e solo utilizzato i diagrammi di Venn astenendomi da qualsiasi definizione e da elencazioni con graffe) dovremmo forse accettare anche l'uso di espedienti adatti alla comunicazione con i bambini. Ad esempio, posto che il termine "insieme" venga introdotto semplicemente nel suo senso comune, se eliminassimo il diagramma dall'esempio dell'intruso, o lo sostituissimo con un recinto qualsiasi magari di forma quadrata, non risulterebbe essere semplicemente un banale esercizio logico di individuazione di una proprietà comune? Per i bambini il diagramma di Venn non è un "segnale" che rimanda alla teoria degli insiemi, bensì un mezzo grafico che incontrano in molti contesti differenti.

Giorgio Israel ha detto...

Gentile Giovanna, io sono fermamente contrario all'introduzione della teoria degli insiemi alle primarie. Per quanto riguarda quel che bisogna fare in positivo, sarebbe troppo lungo parlarne in un blog, ma ci sto lavorando proprio in questo periodo, scrivendo un libro (in collaborazione con mia moglie, docente di matematica alla facoltà di scienze della formazione) rivolto ai maestri.

Caroli ha detto...

La teoria degli insiemi è assolutamente inutile per qualsivoglia scopo pratico. Nei miei lunghi anni da progettista non l'ho mai ne' utilizzata, ne' incontrata, e non mi è quindi stato di nessuna utilità l'averla studiata. In quel (poco) di insegnamento che ho avuto modo di impartire, non è mai entrata, ne' diritta ne' di sbieco: con l'elettronica, le telecomunicazioni e l'elettrotecnica non ha a che fare.

Lucio ha detto...

Professore,
La ringrazio per i primi quattro punti. Si, forse sono un po' impermeabile (mica tanto poi, in fondo il Ricoeur-Changeux l'ho letto per aver accolto il suo suggerimento), ma mi conceda di dire che lei alle volte cristallizza un po' (o prende alla lettera in modo rigoroso) quello che dicono altri commentatori.

Faccio un ultimo tentativo, perche' credo che ci siamo capiti male. I termini "intensivo" ed "estensivo" mi sono venuti in mente chissa' da dove, vedo bene che non sono termini usati nei testi e fra i matematici, ma non intendevo con quelli dare una definizione di insieme. La nozione di insieme, introdotta a livello di teoria ingenua, rimane una nozione primitiva punto e basta. Dopo averla introdotta, pero', dovro' pur fare degli esempi; allora, volendo introdurre un particolare insieme, inevitabilmente lo introduco in uno o nell'altro dei due modi, a meno che non risulti da operazioni su insiemi gia' introdotti in precedenza.

Vedo che c'e' una marea di gente contraria all'insegnamento dell'insiemistica ai bambini. Ho sempre pensato che fosse utile, ma evidentemente la mia esperienza e' troppo ristretta.

Aspetto con grande curiosita' il prossimo bestiario sulla cardinalita'; non ci faccia attendere troppo (impegni permettendo, si capisce)!

Cordialmente, Lucio Demeio.

Nautilus ha detto...

Caro Lucio,
personalmente non sono contrario: non sapendo io vederne l'utilità non vuol certo dire che questa utilità non ci possa essere, non sono un matematico.
Sono invece fermamente contrario a che dei ragazzi di III L.scientifico mi facciano 0,08 al quadrato=0,64, come stamani! E mi ci sia voluto del tempo per ficcargli in testa che faceva 100 volte di meno!
Allora mi viene il dubbio che certi tentativi didattici siano velleitari. Mi conforta molto scoprire di condividere i miei modesti dubbi con uno come Israel, allora non la butto del tutto di fuori...
Ciao carissimo.

Giorgio ha detto...

Georg Cantor (il "creatore" della Teoria Ingenua – cioè intuitiva – degli Insiemi) diede, nel 1895, la seguente "definizione" di insieme: “Un insieme è una raccolta di oggetti determinati e distinti della nostra percezione o del nostro pensiero”; si tratta più di una spiegazione (o di un chiarimento) che di una definizione vera e propria, se non altro, perché il termine "raccolta" è, sostanzialmente, un sinonimo del termine "insieme" (che denota un concetto "primitivo", cioè non definibile mediante concetti più "semplici").

Ma il problema più grande è che, seguendo l’idea di Cantor, applicando un "principio di comprensione" illimitato, data una qualunque proprietà P, è lecito considerare l’insieme A formato dagli oggetti che godono della proprietà P (attenzione: non si sta dicendo che OGNI insieme si possa definire in questo modo!).
Nel 1902 il logico e filosofo Bertrand Russell, scrivendo al collega Gottlob Frege, suggerì di considerare la seguente proprietà: non appartenere (come elemento) a se stesso (come insieme) [ad esempio, l’insieme dei numeri naturali pari non è un numero naturale pari, dunque è un oggetto che non appartiene (come elemento) a se stesso (come insieme)]; si otterrebbe così l’insieme (secondo la Teoria Ingenua!) Y formato dagli oggetti che non appartengono (come elementi) a se stessi (come insiemi). Ma questo "insieme" è contraddittorio. Per come è stato definito Y, infatti, se Y appartenesse a se stesso, allora Y non apparterrebbe a se stesso, mentre se Y non appartenesse a se stesso, allora Y apparterrebbe a se stesso!
L’antinomia di Russell è solo una delle antinomie che si generano nell’ambito della Teoria Ingenua degli Insiemi.

Le Teorie Assiomatiche degli Insiemi furono elaborate (a partire dai primi decenni del XX Secolo: mi riferisco alla Teoria ZF [Zermelo-Fraenkel] e alla Teoria NBG [von Neumann-Bernays-Gödel]) con lo scopo innanzitutto di eliminare le antinomie note della Teoria Ingenua.
Nella Teoria ZF si limita opportunamente il "principio di comprensione" nella formazione di insiemi, introducendo il cosiddetto "assioma di isolamento": è lecito cioè raccogliere in un nuovo insieme B gli elementi di un insieme A – già costruito! – che godano di una determinata proprietà P (espressa mediante una formula F ben definita).
Nella Teoria NBG si accetta invece un "principio di comprensione" illimitato ma si limitano le successive costruzioni di aggregati ("classi"), introducendo una distinzione fra aggregati che possono essere elementi di aggregati e aggregati che non possono esserlo; si dà infatti la seguente definizione: una classe X si dice "insieme" se esiste una classe Y tale che X appartiene a Y, si dice "classe propria" in caso contrario.
Nell’ambito di queste Teorie, si verifica facilmente che l’antinomia di Russell, per esempio, non è riproducibile.

(Un saluto classico da) Giorgio Della Rocca

Giorgio Israel ha detto...

Riconosco senza difficoltà, caro prof. Demeio, l'eccesso che lei mi rimprovera. A scusante dico che a fronte di tanta confusione la spinta a essere rigorosi viene abbastanza naturalmente.
I termini cui fa riferimento non le sono venuti chissà da dove. Se non sono correnti tra i matematici, lo sono nella didattica assieme a moltissimi altri. Un vero e proprio emporio di invenzioni bizzarre. Perciò non si faccia questo torto. Ma quel che è necessario tenere presente è che un conto sono delle procedure mentali con cui uno manipola un concetto o una nozione, altro conto è tradurre queste procedure in definizioni distinte. Questo è indebito e serve soltanto a riempire la testa dei bambini di ciarpame inutile.
Al sig. Della Rocca. Stavolta gliela pubblico, ma vorrei sapere cosa c'entra propinarci un bignami di teoria degli insiemi. Sappiamo queste cose, sono arcinote.

Giorgio ha detto...
Questo commento è stato eliminato dall'autore.
Giorgio Israel ha detto...

Egregio sig. Della Rocca,
non ho detto che il suo commento fosse sbagliato, ma non credo che sia utile e intelligente scaricare pezzi di dispense in rete come contributo a una discussione su metodi e contenuti d'insegnamento.
Quanto al fatto se sia meglio oppure no parlare di asini o consimili, è una decisione mia e se non le sta bene peggio per lei. Debbo dirle con franchezza che, a suo tempo, non mi è piaciuto per niente l'ipocrita ecumenismo con cui si è schierato su una posizione equidistante quando sono stato linciato da un certo "matematico impertinente e impenitente", per cui non nascondo di essere maldisposto nei confronti della sua presenza. Ognuno ha diritto a frequentare chi vuole.

Vincenzo Manganaro ha detto...

Trovo molto utile questo bestiario; il punto di maggiore interesse per quanto mi riguarda è quello della semplificazione dei concetti. Quest'anno ho iniziato l'esperienza da insegnante "prevalente" e ho dovuto studiare molta matematica, pensandola per i bambini di prima: in parte ho basato la mia programmazione iniziale su un lavoro di insiemistica intuitiva. Ho dovuto rapidamente considerare che molti dei miei bambini di cinque e sei anni possedevano già un solido concetto di "quantità" ed erano in grado di operare su queste quantità entro il 10 senza particolari difficoltà sia per quanto riguarda l'addizione che per la sottrazione e quasi nessuno ha necessità di utilizzare i regoli per eseguire i calcoli. In questa situazione di "curricolo implicito", l'applicazione di alcuni concetti di insiemistica ha rischiato di produrre confusione e ho trovato più vantaggioso modificare il programma adattandolo alle loro capacità. Cito un solo esempio che può dare l'idea: in una lezione è capitato di discutere di un recinto di pecore e i bambini dovevano decidere se il lupo "poteva entrare dentro" disegnandolo oppure se era necessario che restasse comunque "fuori" dal recinto. L'autore dell'esempio intendeva dichiaratamente che la soluzione corretta fosse di lasciare fuori il lupo, in quanto "intruso". Ovviamente un gruppo di bambini ha deciso che il lupo deve stare fuori non perchè "non appartiene all'insieme" ma perchè entrando potrebbe mangiare le pecore; un altro gruppo invece ha deciso che l'ingresso non può essergli precluso: se il lupo è affamato, scavalcherà e starà "dentro", per niente intruso e parte del recinto a buon diritto. In ogni caso, nell'esperienza dei bambini in nessun caso il lupo può essere un "intruso" in quel dato recinto.

Cordialità, Vincenzo Manganaro

Giovanna ha detto...

Caro Vincenzo, in ogni caso l'esercizio delle pecore ha avuto il merito di far capire ai bambini che l'ingresso del lupo dipendeva dalla "regola del gioco". Il passo successivo è quello di comprendere che tale regola va stabilita da tutti i partecipanti a priori e che non è possibile modificarla arbitraramente in itinere.
Sui regoli non mi sorprendo: i vari colori costituiscono un passaggio simbolico aggiuntivo (come del resto anche l'abaco, almeno nelle primissime fasi) ed ho sperimentato che purtroppo aiutano solo gli intelligenti e rischiano di fuorviare gli alunni con difficoltà di apprendimento.
Preferisco i lunghi del multibase su cui sono tracciate le singole unità.

Giorgio Israel ha detto...

Cara Giovanna, lei non vuole cedere... Il caso descritto da Vincenzo dimostra che la discussione apertasi tra i bambini ha a che fare con tutto salvo con la teoria degli insiemi e che, rispetto a questa, ha avuto un effetto assolutamente fuorviante! Cosa c'entra la regola? Oltretutto qui non c'è proprio alcuna regola. E soprattutto tutto questo non ha nulla, proprio nulla a che fare con la matematica. Si arrenda all'evidenza, la prego.

Giovanna ha detto...

Caro professore, sulla teoria degli insiemi mi arrendo ben volentieri :-)
Penso soltanto che alcuni degli esercizi comunemente proposti nell'ambito della ormai classica,e certamente spesso malfatta o inopportuna, introduzione "insiemistica" alla matematica possano risultare utili per altri scopi.
La regola di cui parlavo riguarda la classificazione. Se si decide di costituire una classe di ovini, il lupo deve rimanere fuori. Il contrario se si stabilisce di formare un raggruppamento di quadrupedi. I bambini di Vincenzo hanno avuto un approccio "narrativo" all'esercizio perchè non erano stati loro esplicitati i criteri operativi. Immagino che in seguito l'insegnante abbia sfruttato l'occasione per approfondire ed esercitare la capacità di individuare caratteristiche comuni a scopo classificatorio. Quando si utilizzano i blocchi logici emergono grandi differenze individuali tra i bambini : c'è chi non è assolutamente in grado di isolare e prendere in considerazione una sola tra le caratteristiche degli oggetti presentati, c'è chi invece con molta destrezza passa da un criterio all'altro ed è capace di classificare anche in base alla negazione di una proprietà.
Grazie a questo tipo di esercizi, a cui gli alunni partecipano con grande entusiasmo, di solito si ottengono migliori risultati nella risoluzione dei problemi.
Grazie per la sua pazienza.

Giorgio Israel ha detto...

Cara Giovanna,
allora ci vuole un chiarimento di fondo. La matematica non si riduce alla logica e la logica non è neppure la porta d'ingresso della matematica. La riduzione della matematica alla logica è stata una corrente di filosofia della matematica che ha fallito i suoi obbiettivi. Inoltre, le procedure mentali di classificazione sono qualcosa di molto generale che non hanno alcuna relazione necessaria con la matematica. Oltretutto le "classificazioni" in matematica hanno un significato profondamente diverso da quelle, poniamo, in botanica o in zoologia. So bene che le indicazioni nazionali siggeriscono l'introduzione alla matematica mediante le categorie della logica, della classificazione e della misurazione. A parte l'ultimo aspetto (e solo in parte!) la matematica è ben altra cosa! Non è colpa vostra, sono visioni aberranti. Speriamo di riuscire a riscrivere questi deleteri programmi.
Lasci perdere teoria degli insiemi, blocchi logici, classificazioni, e relazioni e si occupi della matematica per quel che è: una scienza i cui oggetti principali sono i numeri e le figure geometriche. Il resto è ciarpame che serve soltanto a confondere le idee e soprattutto a perdere tempo: si passa il tempo a discettare di cose molto teoriche e astruse in modo spesso scorretto e lo spazio per insegnare a calcolare e a ragionare di geometria si riduce al minimo. Cosicché un qualsiasi bambino romeno, lingua italiana a parte, lascia al palo qualsiasi nostro bambino.
Un'ultima osservazione. I bambini, che ragionano in quello che Husserl chiamava il mondo-della-vita giustamente hanno trasferito la discussione su pecore e lupi su un terreno morale che con la logica degli insiemi c'entra come i classici cavoli a merenda. Viceversa, i bambini sanno benissimo come orientarsi nei calcoli, mentre nella nostra prima elementare si insegna loro un numero al mese....

Vincenzo Manganaro ha detto...

Gentile Giovanna,
perchè non abbia dubbi. La consegna del lavoro sul concetto di "appartenenza" nello specifico è "nel recinto ci sono le pecore di Gigi. Tu disegna il lupo" e a concludere "Dove lo hai messo? perchè?". Come vede, il criterio era implicito e in parte soggettivo e i bambini si sono regolati di conseguenza; ritengo che le risposte dei miei alunni siano ancor più corrette alla luce della consegna. Ne abbiamo discusso lungamente insieme e sono certo che tutti i bambini sono in grado di classificare in modi differenti e di costruire diversamente l'insieme in oggetto. Ma la loro consapevolezza del lavoro sta nel riconoscere anche altri elementi classificatori (il lupo ha fame oppure no, il lupo ha iniziativa ed entra nel recinto oppure no, il lupo è un cucciolo e non entra, il lupo è un adulto, è un capobranco, è un maschio, è una femmina con o senza cuccioli) che sono più strettamente legati alla realtà; dal loro punto di vista, tutte le classificazioni possibili che sono state esperite devono permettere di capire se il lupo entrerà o meno nel recinto per mangiare le pecore. Dalle discussioni risultava chiaro che formare un gruppo di ovini piuttosto che di quadrupedi era del tutto privo di significato "logico": se formo ovini perchè diavolo disegnarci anche un lupo fuori (risposta testuale: tanto vale metterci un elefante); se formo quadrupedi allora l'insieme risulterà ben presto "vuoto" di pecore. Le dico in più che su questo lavoro ci siamo rimasti tre giorni proprio per approfondire le mie perplessità sull'approccio dei bambini alla questione: giunto alla fine, la relazione tra il recinto delle pecore e i numeri in quanto oggetti simbolici della matematica personalmente l'ho trovata piuttosto evanescente e mi sono convinto che era necessario allontanarsi dalla insiemistica e dai regoli per sviluppare le qualità che i bambini mi hanno manifestato in più occasioni e che sono più strettamente legate all'aritmetica.

Giovanna ha detto...

Caro Vincenzo, bella esperienza. Se più che un test mi prefiggo di proporre un esercizio, io di solito procedo all'inverso. Gruppo di pecore con "cartellino" su cui è scritto PECORE. Gruppo di pecore con lupo e magari serpente: cosa scriveresti sul cartellino? Oppure: quanti gruppi sei in grado di formare con questi elementi? Procedendo in questo modo i bambini sono spinti a trovare le più varie caratteristiche comuni, a volte anche originali e concrete, come "animali che mi piacciono", "animali di cui ho il peluche" o "animali che non belano"... Non che questo riguardi direttamente i numeri, ma li aiuterà in seguito a capire i testi dei problemi.

Giorgio Israel ha detto...

Insisto, non ha niente a che fare con la matematica. Non aiuta. Nei casi di insegnanti non molto capaci - che non è il suo - danneggia. In ogni caso danneggia perché sottrae tempo alla matematica con considerazioni che non c'entrano nulla.

Lucio ha detto...

Stavo per inviare un commento di risposta a Nautilus, poi gli ultimi commenti di Giovanna, Manganaro e del prof. Israel mi hanno frenato. Le esperienze riportate qui sopra mi convincono non tanto che non bisogna insegnare l'insiemistica, ma piuttosto che non bisogna insegnarla male. E forse non in prima, ma aspettare una classe successiva. La mia esperienza didattica sulle scuole primarie (elementari e medie) e' sicuramente molto ristretta, limitata quasi completamente all'osservazione dei miei figli e di qualche amico insegnante. Non posso quindi pronunciarmi con la sicurezza con cui vi pronunciate voi. La mia impressione e' pero' confermata dalla mia esperienza universitaria. Ed e' la seguente (il prof. Israel sobbalzera' sulla sedia ma ... si discute). La ragione per cui gli studenti di Nautilus in terza liceo fanno 0.08 al quadrato = 0.64 non e' perche' non hanno fatto abbastanza aritmetica nelle scuole elementari ed hanno perso tempo con l'insiemistica. Piuttosto, e' il modo come viene insegnata la matematica alle medie, e spesso anche le superiori, privilegiandone gli aspetti di calcolo e di applicazione di regolette (subito dimenticate) sugli aspetti concettuali e logici. Di esempi se ne trovano tanti. E questo modo di affrontare i problemi in matematica ed in fisica arriva fino all'universita', dove ancora molti studenti, invece di ragionare sui problemi, vanno mnemonicamente alla ricerca della regoletta da applicare (spesso sbagliando). La mia impressione e' che, nel percorso didattico, i ragazzi arivano alla fine delle elementari con una discreta capacita' di pensare autonomamente e ragionare, poi alle medie tutto questo viene negato e si passa ad un approccio mnemonico-calcolistico. Sono li' che vengono creati i danni. Mi sembra, sempre dal mio punto di osservazione limitato, che l'insiemistica - FATTA BENE e senza bestialita' matematiche - aiuti a formare questa capacita' di ragionare e di pensare autonomamente sui problemi.

Prima di finire: professor Israel, perche' separa cosi' decisamente la matematica dalla logica? A parte le questioni epistemologiche ed a parte l'insiemistica, in generale lei mi sembra d'accordo con il dare la preferenza agli aspetti logici e concettuali piuttosto che a quelli mnemonici e di calcolo, vero?

Cordialmente,
Lucio Demeio.

ilaria ha detto...

Sono assolutamente affascinata da questa discussione di cui non capisco nulla. Il prof. stesso o qualche anima buona del forum potrebbe consigliare un libro adatto a una totale analfabeta di ritorno in matematica, ancorché con ottimi studi (càpita, ahimè), che possa colmare almeno le lacune più grosse (e magari stimolare, come si dice, ulteriori approfondimenti). Grazie a tutti, io comunque continuo a seguire la discussione da intrusa!

Giorgio Israel ha detto...

Per la mia esperienza personale e più generale - visto che in questo periodo sono impegnato su questo fronte - la scuola primaria e quella media inferiore sono in continuità per difetti, sia pure di natura un po' diversa. Le primarie vanno male e ora persino i pedagogisti cominciano ad ammetterlo - cfr. l'intervista di Domenici al Messaggero - salvo che sarebbe da chieder loro chi è che forma i maestri se non le facoltà di scienze della formazione... Mia moglie è stata costretta a impegnarsi in una seduta settimanale di "club matematico" per recuperare le carenze macroscopiche di figli e amici dei figli. Le capacità concettuali e mnemoniche si debbono accompagnare, è sbagliato contrapporle. Capisco che non siamo più ai tempi in cui, come mio nonno, si facevano a mente moltiplicazioni di numeri a tre cifre, ma insomma... Non contrappongo logica a matematica ma trovo aberrante considerare la matematica come un capitolo della logica e considerare necessario la premessa di nozioni di logica allo studio della matematica. Consiglierei la lettura del dibattito tra Dieudonné e Thom (ovviamente sto dalla parte di Thom...). A Ilaria consiglierei la lettura del sempreverde malgrado gli anni e alcuni difetti, Courant & Robbins. Sto scrivendo un libro con quel tipo di impostazione, ancor più elementare, ma prima che veda la luce ci vorrà un annetto.

Alessandra ha detto...

Rispondo a Lucio, visto che sono un'insegnante delle medie.
Non è vero che alle medie si insiste solo su aspetti meccanici e che non si fa ragionare i ragazzi. Naturalmente dipende dall'insegnante, esistono insegnanti con questo approccio, ma non credo che siano la maggior parte. Il problema è un altro. I ragazzi vogliono sempre scorciatoie e fanno di tutto per non ragionare, perché lo trovano faticoso. Adorano avere regolette da applicare e l'insegnante deve sforzarsi di non dargliele se vuole obbligarli a ragionare. Peraltro se un ragazzo è un po'debole nel ragionamento, sarà opportuno che impari almeno qualche regoletta, altrimenti rischierà di non imparare proprio nulla. Ricordi che la composizione di una classe delle medie è molto diversa da quella di una classe di un liceo. Ci sono moltissimi ragazzi che hanno enormi difficoltà di ragionamento.
Il caso da lei citato del quadrato di 0,08 è invece emblematico di un altro problema. I ragazzi sbagliano perchè hanno fretta di trovare un risultato e perché non sanno più fare i conti. L'utilizzo della calcolatrice li disabitua al calcolo. Purtroppo i ragazzi usano sempre la calcolatrice quando fanno i compiti a casa, anche se alle medie, in genere, non la si lascia utilizzare a scuola. A casa però l'insegnante non può controllare e quindi ... Conosco ragazzi a cui è consentito di usare sempre la calcolatrice che sono ormai incapaci di effettuare a mente e rapidamente calcoli del tipo 23 + 47. Alcuni di questi ragazzi si sono iscritti comunque al liceo scientifico. Ad essi non manca la logica, ma mancano le più elementari abilità di calcolo mentale. Inoltre, abituandosi alla calcolatrice, si abituano ad accettarne acriticamente il risultato. Difficilmente si meraviglieranno del fatto che il risultato di 0,8 al quadrato è minore del numero di partenza, anche se ciò viene fatto notare, in genere, dall'insegnante delle medie. Se invece eseguono il calcolo a mano o a mente, verrà loro il dubbio di aver sbagliato e solo allora saranno interessati alla spiegazione dell'insegnante sul perché tale risultato sia piccolo. Ma usando la calcolatrice non si porrano problemi, qualunque risultato verrà accettato e la spiegazione dell'insegnante non verrà nemmeno ascoltata.

Lucio ha detto...

Gentile Alessandra, lei mi ... invita a nozze!
Negli appelli dei miei corsi universitari( Analisi, Meccanica Razionale o Fisica Matematica), proibisco categoricamente l'uso della calcolatrice e non degno di rispondere a chi mi viene a chiedere quant'e' il seno o il coseno di 60 o 30 gradi! E gli dico anche, senza mezzi termini, che forse Ingegneria non era la facolta' adatta per lui/lei. Con buona pace del politically correct.

Lucio Demeio.

Giorgio Israel ha detto...

Lei fa come me che - pensi un po' - ho persino la pretesa di non accettare che i miei studenti dicano che Newton è uno scienziato del Settecento, "secolo più secolo meno".... Siamo beceri "nozionisti"...

Nautilus ha detto...

Cari Alessandra e Lucio, buone spiegazioni entrambe del fenomeno, mi avete QUASI convinto :)...il guaio però è che le falle si aprono ovunque: non sapere l'area del cerchio in IV L.S. non si può addebitare alla calcolatrice o alla mancanza di ragionamento!
Qui c'è qualcosa d'altro..Il collega di matematica (valido) cui ho chiesto conto di questa incredibile lacuna mi ha detto che il cerchio si fa alle medie e che al liceo non capita più!
Io quindi ho elaborato una teoria non alternativa ma aggiuntiva alle vostre: non si fanno più esercizi! Imparare significa anche ripetere certi calcoli e ragionamenti fino allo sfinimento! Allora li introietti e non te ne scordi più! Il che non vuol dire "imparare a memoria", vuol dire dotarsi di strumenti consolidati che poi ti serviranno sempre. Secondo me nella nostra scuola è carente proprio questa "istruzione di base", senza la quale si costruisce sulla sabbia.
Saluti e grazie per l'interessante discussione.

tirripitirri ha detto...

Se dovessi spiegare a mia figlia per via grafica come è fatta la struttura della materia, probabilmente disegnerei una palla (il nucleo) con delle ellissi (le orbite) e dei pallini (elettroni).
Sarebbe una cosa sbagliatissima, mi direi, giacché, nella realtà abbiamo a che fare non con corpuscoli, ma stati quantici e condizioni probabilistiche.
Eppure a mia figlia lo spiegherei proprio con i pallini. E sarei pure contento se un giorno mi mettesse in crisi: vuol dire che avrebbe elaborato dei processi mentali propri. Va lasciato un certo margine di errore....

Giorgio Israel ha detto...

Ma quella sarebbe un'approssimazione macroscopica ragionevole perché stiamo comunque parlando di modelli della realtà. Invece qui siamo sul terreno della logica, e siamo di fronte a una castroneria concettuale elementare.