BESTIARIO MATEMATICO n. 2

Approfondiamo il bestiario matematico relativo alla teoria degli insiemi nelle scuole primarie (elementari).

In molti libri, in molti documenti in rete adottati anche da circoli scolastici, istituti, ecc. si legge che un insieme può essere definito o rappresentato in tre modi:

- per caratteristica, ovvero secondo una proprietà che lo definisce, detta anche definizione intensiva.

Esempio:  P = {insieme di tutti i numeri pari}

- per elencazione, ovvero elencando materialmente tra parentesi i suoi elementi, detta anche definizione estensiva. 

Esempio. A = {3, 5, 9, 17}

- con un diagramma di Eulero-Venn (locuzione inutilmente pomposa) ovvero con un disegno che rappresenta in modo simbolico l’insieme.

Prima castroneria (didattica):

I diagrammi di Eulero-Venn furono introdotti per la prima volta da Eulero nelle Lettere a una principessa di Germania, per spiegare alla principessa l’inclusione di certi concetti. Ad esempio, il fatto che ogni essere umano è mortale (ma non il viceversa) è rappresentato simbolicamente da questa inclusione (propria) di cerchi:

Ma è facile capire che se pretendo di rappresentare l'insieme delle vocali – dato "per elencazione", V = {a, e, i, o, u} con il sottostante disegno, il  bambino tende a confondere completamente l’insieme qual è realmente – un elenco finito di cinque oggetti – con la figura geometrica a ellisse  dentro cui ballano quei cinque elementi. 

E vedremo subito le conseguenze di questa confusione.

Comunque questa terza “definizione” è soltanto un espediente grafico, un disegno che aiuta, non ha niente a che vedere con le prime due.

Seconda castroneria (concettuale):

Le prime due non sono due definizioni o rappresentazioni della stessa nozione. DANNO LUOGO A NOZIONI PROFONDAMENTE DIVERSE. La definizione “intensiva” restringe enormemente il numero di insiemi considerabili – per esempio A non è definibile mediante alcuna proprietà e gli esempi analoghi si sprecano. La definizione per elencazione è completamente diversa e comprende una marea di casi di insiemi che non sono definiti da alcuna proprietà mentre, d’altra parte molti insiemi definiti da proprietà non sono elencabili (tali sono, per esempio tutti gli insiemi infiniti).

La “definizione” restrittiva è errata e fuorviante anche perché la nozione primitiva di insieme – ovvero dettata dalla nozione comune, usuale, di insieme – può tranquillamente includere i casi in cui l’insieme può essere caratterizzato da una proprietà. Il viceversa non è vero, e quindi la seconda oltre ad essere indebitamente restrittiva, non è intuitiva. I matematici possono anche adottare tale definizioni per alcuni loro scopi ristretti, ma si tratterebbe di una scelta oltre che discutibile, didatticamente sbagliata (nessun libro moderno lo fa).

A questo punto è evidente che è pazzesco assegnare come compito o “verifica” ai bambini esercizi consistenti nel rappresentare un dato insieme nei tre modi anzidetti. Se il bambino è sveglio presto si accorgerà che vi sono insiemi che non sono suscettibili di tutte le rappresentazioni e gli crollerà tutto addosso (a lui e all’insegnante… a meno che questi non cerchi di soffocargli lo spirito critico).

Ora veniamo alla più grande BESTIALITA’ (concettuale e didattica):

È il modo in cui viene frequentemente introdotto il concetto di elemento che non appartiene a un insieme (da cui poi viene il concetto di complementare di un insieme ecc. ecc.).

Si legge in alcuni dei testi suddetti:

Un elemento che non appartiene all’insieme viene chiamato INTRUSO.

Raramente un termine fu più infelice e fuorviante.

«Cerca l’intruso» si propone in un esercizio-verifica e si propone un diagramma di Eulero-Venn del tipo dato nella figura seguente, dove l’insieme dato in forma di elenco è quello delle vocali, V:

L’elemento “intruso” è 8……

Ma con questa rappresentazione geometrica il bambino interiorizza l’idea che l’intruso è un elemento che non dovrebbe stare dentro perché non è nella lista ma che si è infilato “dentro” abusivamente. DENTRO… perché, in effetti, sta DENTRO! Altrimenti non lo si chiamerebbe INTRUSO!!!

Proprio come un «imbucato» in una festa che non dovrebbe starci, ma di fatto ci sta, sta dentro casa e non fuori.
Cioé dovrebbe star fuori, ma viene messo dentro per farlo vedere, chiamandolo però "intruso".
Quando viene il buttafuori?.....

Ci sarebbe da ridere se non fosse da piangere.

Chi ha pensato questa trovata merita il cappello d’asino.

Una considerazione finale.

Tutte queste disquisizioni aberranti hanno una caratteristica comune:

la mancanza di semplicità, il voler complicare a tutti i costi, il non volersi rifare a nozioni intuitive, proprio mentre si dichiara di inseguire il facile e il semplice.

Chi realizza questo exploit è tipicamente una persona con le idee confuse.

E le persone con le idee confuse si rifugiano dietro la moltiplicazione delle definizioni e delle nozioni. Insomma violano sistematicamente l’aureo principio del rasoio di Guglielmo di Ockam:

Entia non sunt multiplicanda praeter necessitatem

(Gli enti non debbono essere moltiplicati al di là del necessario).

Vedremo prossimamente altri esempi di indebita moltiplicazione delle definizioni.