BESTIARIO MATEMATICO n. 17

Tempo fa ho partecipato a un dibattito in una scuola e, prima dell’inizio, discorrevo con la dirigente scolastica. Si è parlato dell’insegnamento della matematica e ho deprecato il diffondersi di approcci assurdi come il credere che un’introduzione alla “spazialità” e alla geometria sia l’approfondire i concetti di “sopra/sotto”, “davanti/dietro”, “destra/sinistra”, “dentro/fuori”.

«Certo!», ha osservato la dirigente, «sono gli indicatori topologici».

Sono rimasto senza fiato perché era il segno che, se si permetteva di fare con tanta sicumera una simile affermazione davanti a un laureato in matematica, voleva dire che ormai l’attribuzione a quelle coppie di quella denominazione e la considerazione di questa tematica come centrale nell’introduzione della visione geometrica a scuola, sono diventate un’ovvietà.

Eppure, appena si dice a un matematico propriamente detto che è d’uso chiamare “indicatori topologici” le coppie “sopra/sotto”, ecc., inorridisce.

Nessuno di quei concetti ha a che fare con la topologia che è basata sul concetto di “intorno” o di “vicinanza”. L’obiezione – fatta da alcuni – che il termine viene usato in un senso ad hoc è inaccettabile: se non si rispetta il senso accettato delle parole, allora tutto il linguaggio diventa puro arbitrio e, oltretutto, quale sarebbe questo senso ad hoc? Nessuno è in grado di dirlo.

L’unica cosa che si pretende – e che giustifica in modo confuso la denominazione di “indicatori topologici” – è che si tratterebbe di un modo di avviare alla comprensione della spazialità, e quindi al pensiero geometrico. Ed è quello che ha guidato gli ignoranti che hanno scritto le Indicazioni nazionali per il primo ciclo, quando hanno legittimato l’uso di queste coppie nel senso anzidetto.

Ma vediamo meglio.

Il senso “corporeo” della spazialità ha ben poco a che fare con la geometria, che è nata e si è sviluppata astraendo dall’osservazione degli oggetti e costruendo un mondo di enti ideali governati da proprietà e regole generali e che viene esplorato mediante la deduzione di teoremi a partire da quelle proprietà generali.

“Sopra/sotto” non è un concetto geometrico, o matematico che dirsi voglia. Esso ha un carattere strettamente antropocentrico. Il sopra è diverso e irriducibile al sotto perché non posso camminare con la testa e quindi le due posizioni sono per me non equivalenti. Ancor più evidente è la cosa col “davanti/dietro”: se avessi due occhi dietro la testa non esisterebbe alcuna differenza tra il davanti e il dietro, sarebbero perfettamente equivalenti. Invece, sono distinti e irriducibili e forse lo rimarrebbero anche se avessi due occhi dietro, perché non è per me equivalente camminare in avanti o all’indietro. Peggio ancora per il “destra/sinistra” che indica un privilegio di un lato rispetto all’altro, che peraltro viene rovesciato nei mancini, e comunque fa riferimento a una dissimetria. Forse il “dentro/fuori” è l’unico dualismo che sembra trovare qualche contatto con la topologia, ma soltanto a uno sguardo superficiale, perché il concetto di punti interni di un insieme in topologia è molto diverso dal “dentro/fuori” della spazialità del “mondo della vita”, in quanto si riferisce a una nozione di insieme “aperto” e “chiuso” che si allontana dall’intuizione comune.

In matematica, il “destra/sinistra”, il “davanti/dietro” ecc. possono essere introdotti, in particolare quando si definisce un orientamento sulla retta, oppure quando si definisce un verso di rotazione (levogiro o destrogiro), ma si tratta di distinzioni puramente convenzionali, che non hanno alcun carattere sostanziale come lo hanno invece questi concetti nel “mondo della vita”. Definire un’orientazione sulla retta è una mera convenzione che può essere rovesciata senza problemi. Non esiste il sopra e il sotto di una figura geometrica, se non in relazione a un modo di vedere gli oggetti di una persona: proprio qui si vede la differenza tra lo sguardo di una persona nel “mondo della vita” e lo sguardo geometrico. Non esiste il davanti e il dietro di una piramide.

Può aver senso approfondire nel bambino, in età prescolastica, le nozioni dello spazio posturale e dello spazio rappresentativo ma guai a confondere tutto questo con l’introduzione ai concetti della geometria come parte della matematica. 

Come abbiamo scritto in Pensare in matematica:

«... bisogna ricordare che, anche nel bambino, lo spazio rappresentativo è diverso dallo spazio geometrico. Va sottolineato con chiarezza che “davanti/dietro”, “destra/sinistra” sono categorie importanti nello spazio posturale ma prive di significato geometrico; e lo stesso può dirsi di categorie della vita quotidiana come “dentro/fuori”, “sopra/sotto”. Per quanto riguarda la coppia “destra/sinistra”, oppure il senso “orario/antiorario”, in geometria si introducono proprietà di orientazione (segmenti, angoli e triangoli orientati, semiretta o semipiani opposti) nel senso che è possibile distinguere due versi opposti. Ma non esiste un’orientazione geometrica privilegiata, che distingua in modo assoluto tra “destra” e “sinistra” o tra “antiorario” e “orario”. Dal punto di vista geometrico, si tratta di scelte puramente convenzionali, come decidere cosa sta “sopra” e cosa sta “sotto”; mentre nel mondo della vita “sopra” e “sotto” non sono intercambiabili. Intervenire su queste dicotomie può rivestire importanza nella educazione e nell’istruzione del bambino, ma è del tutto estraneo al pensiero geometrico e alla formazione geometrico-matematica.

Le concezioni geometriche del bambino hanno un punto di appoggio fondamentale nella sua esperienza, ma l’apprendimento della geometria si allontana dall’esperienza; anzi, parafrasando Poincaré, possiamo dire che, se non se ne allontanasse, la conoscenza che la geometria offrirebbe dello spazio sarebbe approssimativa e provvisoria! Viceversa, con la scolarizzazione, le conoscenze geometriche acquisite dai bambini e dai ragazzi condizionano il loro spazio rappresentativo, orientandolo verso la condivisione di concezioni dello spazio tipiche delle scienze, della tecnologia e, in generale, della cultura moderna. Si può anche ritenere che questo sia un fatto negativo, preferire un approccio qualitativo che escluda l’astrazione e il quantitativo e sognare il ritorno a un mondo antecedente Euclide, per non dire Cartesio o Hilbert. Ma allora bisognerebbe avere la coerenza di rigettare in toto l’insegnamento scientifico. Quel che è sbagliato e inaccettabile è di far credere che si possa introdurre alla scienza seguendo un percorso ad essa contrario; è di gabellare per formazione scientifica qualcosa che va nella direzione opposta e, di fatto, smantella la possibilità di formare una mentalità propriamente scientifica».

Per questo, questa faccenda degli indicatori topologici, inclusa la loro menzione nelle Indicazioni nazionali, merita di essere inclusa in un Bestiario matematico.